Page 73 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

72 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

fonksiyonu için,

 (pq)=  (p)  (q)

e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Bu fonksiyon bir homorfizmadır ve çekirde˘ gi {±1} dir. O halde, her dönme
matrisine kar¸sılık gelen iki birim kuaterniyon vardır ve bunlar :
q ve − q

kuaterniyonlarıdır. Ayrıca birinci izomorfizma teoremine göre, SO (3) grubu, H 1 Á{±1}
bölüm gurubuna izomorftur.

∼
SO (3) = H 1 Á{±1}
yazılabilir

˙
n=(a,b,c) Birim Vektörü Etrafında,  açısı Kadar Dönmeyi Ifade Eden Matris

4.13 Teorem Üç boyutlu Öklid uzayında, n =(  ) birim vektörü etrafında,  açısı
kadar dönmeyi ifade eden R q matrisi,
⎡ ⎤
¡ ¢ 2 
1 − 2 1 −  2 sin  (1 − cos ) −  sin   sin  +  (1 − cos )
⎢ 2 ⎥
⎢ ¡ ¢  ⎥
 sin  +  (1 − cos ) 1 − 2 1 −  sin − sin  +  (1 − cos )
⎢ 2 2 ⎥ (4.2)
2
⎢ ⎥
⎣  ⎦
¡ ¢ 2
− sin  +  (1 − cos )  sin  +  (1 − cos ) 1 − 2 1 −  2 sin
2
ile belirlidir.
¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
˙ Istenen matris,
 
q =cos +(i + j + k)sin
2 2
kuaterniyonuna kar¸sılık gelen matristir. Bu matris, R q =[  ] 3×3 olmak üzere,  11 de˘ gerini
bulalım.
2
2
2
 11 =  +  −  −  2 4
2
1
3
   
2
2
2
=cos 2 +  sin 2 −  sin 2 −  sin 2
2 2 2 2
 2 2  2 2  2 2 
2
=1 − sin +  sin −  sin −  sin
2 2 2 2
¡ 2 2 2 ¢ 2 
=1 − 1 −  +  +  sin
2
2
2
2
olur ki,  +  +  =1 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
¡ ¢ 
 11 =1 − 2 1 −  2 sin 2
2