Page 68 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 67

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Dönme Hareketi

Kompleks sayılarla, Öklidiyen düzlemdeki dönmeleri ifade edebildi˘ gimiz gibi, kuaterniyon­
larla da üç boyutlu Öklid uzayındaki dönmeleri ifade edebiliriz. Her birim

z =  =cos  + i sin 
kompleks sayısı, düzlemde  açısı kadar saat yönünün tersine bir dönme ifade eder. Buna göre,
w ∈ C için,

zw

kompleks sayısı, kompleks düzlemde w kompleks sayısının konumunun,  açısı kadar döndürülmesi
demektir.

y
Rz  rcos    isin  

r z  rcos  isin

θ r
α r x

Benzer ¸sekilde, q =cos  + n sin  birim kuaterniyonu da, üç boyutlu uzayda, 2 açısı kadar
bir dönmeye ka¸sılık gelir. Bu bölümde bu konuyu irdeleyece˘ giz.

 q (r)= qrq −1 Dönü¸sümü Lineerdir

4.9 Teorem H kuaterniyonlar kümesinde, q r ∈ H için,
R : H → H  R q (r)= qrq −1
¸ seklinde tanımlanan R dönü¸sümü lineer bir dönü¸sümdür.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
r p ∈ H ve  ∈ R için, kuaterniyon çarpımının özellikleri kullanılırsa,
R q (r + p)= q (r + p) q −1
¡ −1 ¢ ¡ −1 ¢
= qrq + qpq
¡ −1 ¢ ¡ −1 ¢
=  qrq + qpq
= R q (r)+ R q (p)
elde edilir. O halde, R dönü¸sümü lineerdir.