Page 71 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

70 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

i) ve ii)’de bulunan sonuçlara göre,
R q (u)=(cos ) n +(sin )(E 2 cos 2 + E 3 sin 2)
elde edilir. Yani, R dönü¸sümüyle, u vektörünün, n bile¸seni de˘ gi¸smezken, E 2 ve E 3 ’ün
bulundu˘ gu düzlemde, E 2 ile 2 açısı yapacak ¸sekilde bir dönme hareketi olu¸sur. Kısaca,
3
q =cos  + n sin  ∈ H 1 birim kuaterniyonu için, R q dönü¸sümü, u ∈ R vektörünü, n ∈ R 3
dönme ekseni etrafında 2 açısı kadar döndürür.

Her Birim Kuaterniyon Üç Boyutlu Uzayda Bir Dönmeye Kar¸sılık Gelir

Sonuç 4.7 H 1 birim kuaterniyonlar kümesinde verilen bir

q =cos  + n sin  ∈ H 1
birim kuaterniyonu için,

R q : R 3 → R 3
u → R q (u)= quq −1
3
dönü¸sümü, u vektörüne n ∈ R vektörüne dik düzlemde 2 açısı kadar döndürür.

n C
R(u)
O
2θ
2θ
u
A

Bir Birim Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Dönme Matrisinin Bulunması

Yukarıdaki teorem yardımıyla, bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k birim kuaterniyonu için,
3
R q : R → R 3
dönme dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matrisi bulalım. q birim kuaterniyon oldu˘ gundan,
q −1 = q =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
olacaktır.