Page 67 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

66 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Bir R dönme matrisinin özde˘ gerlerinden biri 1’dir.  =1 özde˘ gerine kar¸sılık gelen özvektör
u 1 olmak üzere, Ru 1 = u 1 e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Yani, R dönme matrisi u 1 vektörünü de˘ gi¸stirmez.
Bu u 1 vektörünün dönme ekseni olması manasına gelir. ¸Simdi bunu ispatlayalım. u 1 vek­
törüne dik olan bir u 2 vektörü alalım ve u 1 × u 2 = u 3 biçiminde u 3 vektörünü tanımlayalım.
3
Bu durumda, u 1  u 2 and u 3 , R uzayının bir ortonormal tabanı olur. ¸Simdi, e  = u  olacak
¸ sekilde bir  matrisi alalım. Bu durumda,  matrisi bir ortogonal matris olur. Çünkü kolon­
ları bir ortonormal tabandır. ¸Simdi,  −1 R çarpımını hesaplayalım. Ortogonal matrislerin
çarpımı ortogonal oldu˘ gundan  −1 R matrisi de ortogonal matristir. Hatta,
 −1 Re 1 =  −1 Ru 1 =  −1 u 1 = e 1

oldu˘ gundan,  −1 R matrisinin ilk kolonu (1 0 0) olur. Dolayısıyla,  −1 R matrisi a¸sa˘ gı­
daki formda olacaktır.
⎡ ⎤
10 0
 −1 R = ⎣ 0  ⎦ 
0 
Di˘ ger taraftan, ikinci ve üçüncü satırlar ve sütunlar da birbirine dik olması gerekti˘ ginden

 +  =0 ve  +  =0
olmalıdır. Ayrıca, bu matrisin determinantı det R =  −  =1 oldu˘ gunu biliyoruz. Buna
2
2
göre,  +  =1 ve  +  =1 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
2
2
½
 +  =0
 −  =1
denkleminde  =  =cos  ve  = − =sin  çözümdür. Yani,
⎡ ⎤
1 0 0
 −1 R = 0cos  − sin  ⎦
⎣
0sin  cos 
matrisi, e 2 ve e 3 vektörlerinin düzleminde bir dönme belirtir. Bu matrisin,  ekseni etrafından
 açısı kadar dönmeyi ifade eden matris oldu˘ gunu biliyoruz. Yani, dönme ekseni e 1 vektörü,
dönme açısı ise ’dır. Di˘ ger taraftan,
¡ −1 ¢
Ru 2 = Re 2 =   R e 2
=  ((cos ) e 2 +(sin ) e 3 )
=(cos ) u 2 +(sin ) u 3 
¡ −1 ¢
Ru 3 = Re 3 =   R e 3
=  ((− sin ) e 2 + (cos ) e 3 )

=(− sin ) u 2 +(cos ) u 3
oldu˘ gundan, R matrisi,  −1 R matrisi ile aynı dönmeyi ifade eder. O halde, R matrisi u 2 ve
u 3 vektörlerinin gerdi˘ gi düzlemde, dönme ekseni u 1 olan ve dönme açısı ise  olan bir dönme
matrisidir.