Page 63 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

62 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

3 4
4.7 Alıştırma 5 × 5 bir reel dönme matrisinin özde˘ gerlerinden ikisi + i ve i ise, bu matrisin
karakteristik polinomunu bulunuz. 5 5

5
4
2
3
Yanıt :  ()=  − 11 5+ 16 5 − 16 5+ 115 − 1
3 4
4.8 Alıştırma 5 × 5 bir reel dönme matrisinin özde˘ gerlerinden ikisi + i ve 2 ise, bu matrisin izini
5 5
bulunuz.
Yanıt : 4710

Dönme Matrisinin Özde˘ gerleri


4.4 Teorem R de, bir R dönme matrisinin özde˘ gerleri,  =2 (çift) ise,
n o
  1i  − 1i   2i  − 2i    i  − i 
 =2 +1 (tek) ise,
n o
1  1i  − 1i   2i  − 2i    i  − i 
formunda olacaktır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Özde˘ gerlerin çarpımı 1 olmalıdır.  =2 boyutlu bir uzayda,  () polinomunun derecesi
2 olaca˘ gından, aynı kökler de sayılmak üzere, 2 kökü olmalıdır ve bu köklerin çarpımları 1
olmalıdır.  () polinomu reel katsayılı bir polinom oldu˘ gundan,  6=0 olmak üzere,  + i
bir kök ise,  − i sayısı da bir köktür. Yani,  1 =  + i özde˘ ger ise,  2 = − sayısı da bir
özde˘ gerdir. Di˘ ger yandan, dönme matrisleri uzunlu˘ gu de˘ gi¸stirmedi˘ ginden,

kuk = kuk
oldu˘ gunu biliyoruz.  özde˘ ger ise, u =  olaca˘ gından,

kuk = kuk = ||kuk = kuk
e¸sitli˘ ginden, || =1 elde edilir. O halde, bir dönme matrisinin özde˘ geri reel ise mutlak de˘ geri,
kompleks sayı ise modülü yani uzunlu˘ gu 1 olmalıdır. Yani, özde˘ gerleri :
 ±i =cos  ± i sin 
formunda olacaktır. Buna göre, özde˘ gerlerinin çarpımlarının da 1 olaca˘ gı göz önüne alınırsa,
 =2 boyutlu bir dönme matrisinde, özde˘ gerler
n o
  1i  − 1i   2i  − 2i   i  − i
formunda bulunur. Di˘ ger yandan,  =2+1 ise, özde˘ gerlerden bir tanesi mutlaka reel sayıdır
ve özde˘ gerlerin çarpımı 1 oldu˘ gundan, bu reel özde˘ ger kesinlikle 1’dir. Böylece, tek boyutlu
uzaylardaki dönme matrislerinde özde˘ gerlerden birinin mutlaka 1 oldu˘ gunu söyleyebiliriz.