Page 61 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 61
60 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Dönme Matrislerinin Özde˘ gerleri
¨ ¥
4.3 F DönmeveYansıma Matrisleri F
§ ¦
× türünden bir matris olmak üzere, skaleri ve sıfırdan farklı bir u vektörü için,
u = u
e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyorsa, sayısına matrisinin özde˘ geri (karakteristik de˘ geri), u vektörüne
de sayısına kar¸sılık gelen matrisinin özvektörü (karakteristik vektörü) denir. Bu
tanımı, "R uzayında tanımlı bir lineer dönü¸sümün do˘ grultusunu de˘ gi¸stirmedi˘ gi vektörlere,
bu dönü¸sümün özvektörleri denir" ¸seklinde de ifade edebiliriz. u = u e¸sitli˘ gini,
~
u =( ) u ⇒ ( − ) u = 0
¸ seklinde yazarak, bir homojen denklem sistemi elde ederiz. u vektörü sıfırdan farklı bir
vektör oldu˘ gundan, böyle bir homojen denklem sisteminin sıfırdan, yani a¸sikar çözümden
farklı çözümlerinin olabilmesi için, det ( − )= 0 olması gerekir. matrisi ×
türünden oldu˘ gu için, bu e¸sitlik bize ’inci dereceden bir polinom denklem verir.
()=det ( − )
’inci dereceden polinomuna, matrisinin karakteristik polinomu denir. Bir matrisinin,
tüm özde˘ gerlerinin kümesine kümesini tayf’ı veya spektrum’u denir.
˙
˙
Bir Matrisin Özde˘ gerleriyle Determinantı ve Izi Arasındaki Ili¸ski
4.2 Teorem × türünden bir matris olmak üzere, özde˘ gerleri tekrar edenler de
dahil olmak üzere, 1 2 olarak veriliyor. Buna göre,
a)det = 1 2 ·· ·
b)iz = 1 + 2 + ··· +
e¸sitlikleri sa˘ glanır.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
matrisinin karakteristik polinomu,
()=( − 1 )( − 2 )( − 3 ) ··· ( − )
= − ( 1 + 2 + ·· · + ) −1 + ·· · +(−1) 1 2 ···
¸ seklinde yazılabilir. Buna göre, (0) = (−1) 1 2 ·· · ’dir. Di˘ ger yandan,
(0) = det (0 − )=det (−)=(−1) det
oldu˘ gundan, det = 1 2 ·· · elde edilir
b) =[ ] matrisinin karakteristik polinomu,
×
⎡ ⎤
− 11 − 12 ·· · − 1
⎢ − 22 ·· · ⎥
− 21 − 2
. . .
⎢ ⎥
()=det ( − )=det ⎢ . . . . . ⎥
⎣ . . . . ⎦
− 1 − 2 ·· · −
= − ( 11 + 22 + ··· + ) −1 + ·· ·
