Page 57 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme

Dönme dönü¸sümü bir lineer dönü¸sümdür ve bu dönü¸sümü matrisiyle ifade edebiliriz. Bir
dönmeyi en kolay bir ortogonal matris yardımıyla gösterebiliriz. Dönme matrisleri determi­
nantı 1 olan matrislerdir. Bunları a¸sa˘ gıda inceleyece˘ giz. Bir dönme matrisinde her kolonun
birbirine dik ve birim vektör olması gibi bazı kısıtlamalar ve ¸sartlar vardır. Bu kısıtlamalarla
birlikte, dokuz tane sayı ile üç boyutlu bir dönme bir matrisin kurulması güçle¸sir. Fakat bazı
yöntemler, hem dönme eksenini, hem de dönme açısını en ba¸stan tanımlayarak, dönme matrisi
elde etmemizi sa˘ glarlar. Dönme matrisinin üretilmesi de de˘ gi¸sik yöntemlerle mümkündür.
Bunların bazıları :

1. Vektörel Yöntem
2. Rodrigues Formülü
3. Cayley Formülü
4. Euler Açıları
5. Housholder Dönü¸sümü
6. Birim Kuaterniyonlar Yardımıyla

Bu yöntemlerden bu bölümde, sadece birim kuaterniyonlar yardımıyla dönmematrisi
elde edilmesi üzerinde durulacaktır. Di˘ ger yöntemler, kitabın son kısmında okuyucuya ek
olarak verilmi¸stir.
Kuaterniyonlarla üç boyutlu dönme dönü¸sümlerinin ifade edilmesi, son yüzyılda bil­
gisayar ve animasyon teknolojisindeki geli¸smelerle birlikte sıkça kullanılmaya ba¸slanmı¸stır.
Dönme dönü¸sümlerinin kuaterniyonlarla ifade edilmesi, hem daha kolay hem de daha ¸sık­
tır. Bir birim kuaterniyon yardımıyla bir dönme matrisi çok kolay bir ¸sekilde kurulabilir.
Sadece dört sayı ve bu sayıların olu¸sturdu˘ gu kuaterniyonun birim kuaterniyon olması yeter­
lidir. Yani, sadece dört sayı bir dönme matrisinin kurulması için yeterlidir ve tek kısıtlamamız
da kuaterniyonun normunun 1 olmasıdır. Bu kolaylık, özellikle dönme içeren optimizasyon
problemlerinin çözümünde kolaylık sa˘ glamaktadır. Kuaterniyonların dönmeleri göstermedeki
sa˘ gladı˘ gı kolaylık, özellikle bugün bilgisayar animasyon, fizik, kinematik, bilgisayar program­
lama ve bir çok alanda kullanılmasını sa˘ glamı¸stır.

3
Her birim kuaterniyon, E Öklid uzayındaki bir dönmeyi belirtir. Özel olarak  =0 ’lik
dönme q =(1 0 0 0) birim kuaterniyonu ile gösterilir ve yine bir u birim vektörü etrafındaki
180 derecelik bir dönme ise q =(0 u) birim kuaterniyonu ile ifade edilir. En genel haliyle,
bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k birim kuaterniyonunu kullanarak,
⎡ 2 2 2 2 ⎤
 +  −  −  −2 1  4 +2 2  3 2 1  3 +2 2  4
1 2 3 4
2
2
2
R = ⎣ 2 2  3 +2 4  1  −  +  −  2 2 3  4 − 2 2  1 ⎦
1 2 3 4
2
2
2
2 2  4 − 2 3  1 2 2  1 +2 3  4  −  −  +  2
1 2 3 4
dönme matrisi üretilebilir. Bu matrisin nasıl elde edildi˘ gini, dönme matrisi oldu˘ gunu, hangi
eksen etrafında dönme belitti˘ gini bu bölümde görece˘ giz. Ama öncelikle, dönme matrisleri
hakkındaki temel lineer cebir ve geometri bilgilerimizi kısaca hatırlayalım.