Page 56 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Küresel Geometri 55

kuaterniyon denklemine kar¸sılık gelir. Buna göre,
(cos  + N 1 sin )(cos  + N 2 sin )=cos  − N 3 sin 
cos  cos  + N 2 cos  sin  + N 1 cos  sin  +(N 1 N 2 )sin  sin  =cos  − N 3 sin 
olur. ¸Simdi, N 1 N 2 kuaterniyon çarpımını hesaplayalım.

N 1 N 2 = − hN 1  N 2 i + N 1 × N 2
oldu˘ gunu biliyoruz. Di˘ ger taraftan, N 1 ve N 2 sırasıyla,  ve  çember yaylarının içinde
g
g
bulundukları düzlemlerin birim normalleri oldu˘ gundan,  küresel üçgeninin  kö¸sesin­
deki açının ölçüsü  ise,
hN 1  N 2 i =cos  ve N 1 × N 2 = u sin 
olaca˘ gından,

N 1 N 2 = − cos  − u sin 
olacaktır. Böylece,
cos  cos  + N 2 cos  sin  + N 1 cos  sin  − sin  sin  (cos  + u sin )= cos  − N 1 sin 
olur. Bu son denklemin her iki tarafının skalar kısımlarının e¸sitli˘ ginden
cos  cos  − sin  sin  cos  =cos  (3.2)
bulunur ki bu küresel üçgenler için kosinüs kuralıdır.
E˘ ger, her iki tarafın vektörel kısımları e¸sitlenirse,

N 2 cos  sin  + N 1 cos  sin  − u sin  sin  sin  = −N 1 sin 
bulunur. Bu denklemin, her iki tarafının, u vektörüyle iç çarpımı alınıp, u vektörü N 2 ve N 1
vektörlerine dik oldu˘ gu da göz önünde tutulursa,

sin  sin  sin  = hu N 1 sin i = hu v × wi =det (u v w)
elde edilir. Buradan,

sin  det (u v w)
=
sin  sin  sin  sin 
bulunur. Sa˘ g taraf elemanların dairesel permütasyonuna göre de˘ gi¸smeyece˘ ginden
sin  sin  sin 
= = (3.3)
sin  sin  sin 
bulunur ki bu son ifade de küresel üçgenler için sinüs kuralıdır.

1
3.3 Alıştırma Birim küre üzerinde kö¸se noktaları  =(1 0 0)  =(0 1 0) ve  = (1 2 2)
3
olan bir  küresel üçgeninin kenar uzunluklarını (  ), iç açılarını (kö¸selerdeki yayların hız
vektörleri arasındaki açıları,   ) bulunuz.
sin  sin  sin 
= =
sin  sin  sin 
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını görünüz.