Page 60 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 59

Öklid Düzleminde Dönme Matrisi

˙
4.1 Teorem Iki boyutlu Öklid uzayında dönme matrisleri
∙ ¸
cos  − sin 
sin  cos 
formundadır. Dönme bir nokta etrafında gerçekle¸sir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
∙ ¸


 = ∈ SO (2) ise det  =  −  =1 ve   =  e¸sitli˘ ginden,

∙ ¸ ∙ ¸ ∙ 2 2 ¸ ∙ ¸
   +   +  10

  = = 2 2 =
   +   +  01
2
2
2
2
olmalıdır. Buradan,  +  =1 ve  +  =1 e¸sitlikleri de göz önüne alınırsa,
2
 −  =1 ⇒   −  = 
2
 +  =0 ⇒  +   =0
¡ ¢
2
denklemlerinden,   +  2 =  ⇒  =  ve
2
 −  =1 ⇒  −  = 
2
 +  =0 ⇒   +  =0
¡ ¢
2
denklemlerinden de, −  +  2 =  ⇒  = − olur. Buna göre,
∙ ¸
 −
2
2
 = ve  +  =1
 
e¸sitlikleri  =cos   =sin  daima do˘ grudur.

4.4 Alıştırma Analitik geometri bilgilerinizi kullanarak, düzlemde dönme matrisinin
∙ ¸
cos  − sin 
sin  cos 
oldu˘ gunu kanıtlayınız.
−−→
Yanıt.  ( ), noktasının orjine uzaklı˘ gı  ve  vektörünün  ekseniyle yaptı˘ gı açı y
ı
ı
 olsun. Bu durumda,  =  cos   =  sin yazılabilir. Noktanın döndürüldükten ı P (x , y ) ı
sonraki koordinatları  ( , ) olmak üzere,  ( , ) noktasının da orjine uzaklı˘ gı y
0
0
0
0
0
0
−−→
’dir.  vektörünün  ekseniyle yaptı˘ gı açı  ise,  =  cos   =  sin  r
0
0
0
yazılabilir. ’den  noktasına  =( − ) açısı kadar dönme hareketi yapılmı¸stır. y P(x,y)
0
Buna göre,  =  +  olacaktır. θ r
β
 =  cos  =  cos (+)=( cos )cos  − ( sin )sin  =  cos  −  sin  α x ı x x
0
0
 =  sin  =  sin (+)=( cos )sin  +( sin )cos  =  sin  +  cos 
 0
oldu˘ gundan,  =  cos  −  sin  elde edilir. Böylece,   ( )=( cos  −  sin   sin  +  cos )

 =  sin  +  cos 
0
bulunur.