Page 58 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 57

n
n

θ
.

R(u)
u

Üç Boyutlu Öklid Uzayında Dönme Matrisleri

¨ ¥
4.1 F Ortogonal Dönü¸süm ve Matrisi F
§ ¦
˙ Iç çarpımı, dolayısıyla da uzunlu˘ gu ve açıyı koruyan lineer dönü¸süme, ortogonal dönü¸süm
denir. Yani, bir  dönü¸sümü

h (u)  (v)i = hu vi
e¸sitli˘ gini sa˘ glayorsa, bu dönü¸süme ortogonal dönü¸süm denir. Ortogonal dönü¸sümün mat­
risini de ortogonal matris denir. Bu matrisleri, iç çarpıma ve uzaya göre karakterize edebiliriz.

Örnek 4.1


(Öklid Uzayında Ortogonal Matris) Öklid uzayında herhangi u v ∈ R vektörleri için, u ile u sütun
vektörünün trasnpozesi gösterilmek üzere, iç çarpım

hu vi = u v

biçiminde yazılabilir. Bundan dolayı, her u v ∈ R için,



hR (u)  R (v)i =(Ru) Rv = u R Rv

hu vi = u v
de˘ gerlerinin birbirine e¸sit olması

R R = 
olması durumunda mümkündür. Buna göre, Öklid uzayında bir R matrisi için,


R R =  veya R = R −1
e¸sitli˘ gi sa˘ glanıyorsa, R matrisine ortogonal matris denir. Öklid uzayında ortogonal matrislerin kümesi
©


O(E )= O ()= R ∈ M × (R)  R = R −1 ª
ile gösterilir.