Page 53 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

52 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Küresel Üçgenlerde Açı ve Kenarlar (Yaylar) Arasındaki
Kuaterniyonik Ba˘ gıntılar

Küresel bir üçgen denilince, üç tane büyük çember yayının kesi¸simiyle olu¸san üçgensel bölge
anla¸sılır. ¸Sekildeki gibi, ,  ve  büyük çember yayları ile olu¸sturulan birim küre
g
g g
−→
−−→
−−→
üzerindeki  küresel üçgenini göz önüne alalım. u =  v =  ve w =  diyelim.
Bu vektörler birim vektörlerdir. Buna göre,  üçgeninin kenarlarını ve açılarını u v w
vektörleri cinsinden ifade edelim.
Kenarlar
u ve v arasındaki açı 
u ve w arasındaki açı 
v ve w arasındaki açı 
olsun. Bu durumda, ,  ve  yaylarının, ya da küresel üçgenin kenarlarının uzunluk­
g
g g
ları sırasıyla   ve  olacaktır. Yayların herbiri birim çember üzerinde olaca˘ gından, çember
yayının uzunlu˘ gu merkez açının ölçüsüne e¸sittir.

C
w a w C
b
O v
B O b
u c u b
A A

Açılar
 üçgeninin iç açılarını bulundukları kö¸selerin isimleriyle adlandıralım. Buna göre, 
kö¸sesindeki açının kosinüsünü hesaplayalım. Bunun için iki düzlem arasındaki açının bu­
lunması yöntemini kullanaca˘ gız. Küresel üçgenin kenarları birer büyük çember yayıdır ve
dolayısıyla küre ve orjinden geçen bir düzlemin arakesit e˘ grileridir.  yayının üzerinde
g
bulundu˘ gu düzlemi D 1 ,  yayının üzerinde bulundu˘ gu düzlemi de D 2 ile gösterelim. D 1 ve
g
D 2 düzlemlerinin normali sırasıyla,
u × v w × u
N 1 = ve N 2 =
ku × vk kw × uk
¸ seklindedir. D 1 ve D 2 düzlemleri arasındaki açı ise, küresel üçgenin  kö¸sesindeki açıdır. O
halde,  kö¸sesindeki açının ölçüsü  olmak üzere, bu açıyı bulmak için, D 1 ve D 2 düzlemleri
arasındaki açıyı hesaplamak yeterli olacaktır. Buna göre,

cos  = hN 1  N 2 i (3.1)
elde edilir. Bu de˘ ger negatif olursa, küresel üçgenin  kö¸sesindeki dı¸s açı elde edilmi¸s demek­
tir. Benzer ¸sekilde,  ve  kö¸selerindeki açılar da bulunabilir.