Page 48 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 47

Kuaterniyonik Logaritmada Sa˘ glanmayan Bir Özellik

2.16 Teorem Reel sayılar için do˘ grulu˘ gu iyi bilinen
ln (pq)=ln p +ln q
özde¸sli˘ gi, kuaterniyonlar için do˘ gru de˘ gildir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kabuledelimki,
ln (pq)=ln p +ln q
e¸sitli˘ gi sa˘ glansın. Bu durumda,

pq =  log(pq) =  log p+log q =  log q+log p =  log(qp) = qp
elde edilir. Halbuki, kuaterniyonlar kümesinde, çarpma i¸slemi de˘ gi¸smeli de˘ gildir. Bu çeli¸skidir.
Ohalde, ln (pq)= ln p +ln q e¸sitli˘ gi do˘ gru de˘ gildir.

˙
Kuaterniyonlar Kümesinde Iç Çarpım ve Vektörel Çarpım

Bu bölümde kompleks sayılarda oldu˘ gu gibi, iki kuaterniyonun iç çarpımını tanımlayaca˘ gız.
Hatırlamak gerekirse, iki kompleks sayının iç çarpımı

 : C × C → R
zw + wz
(z w) →  (z w)=
2
¸ seklinde tanımlanır. Ayrıca, z ve w kompleks sayı arasındaki açının kosinüsü de,
 (z w)
cos  =
|z||w|
¸ seklinde tanımlanır. Benzer dü¸sünceyle kuaterniyonların iç çarpımı tanımlanabilir.

¨ ¥
˙
˙
2.16 F Iki Kuaterniyonun Iç Çarpımı F
§ ¦
Herhangi iki p q ∈ H kuaterniyonları için,
pq + qp
 (p q)=
2
de˘ geri daima bir reel sayıdır. Bu reel sayıya, ise p ve q kuaterniyonlarının iç çarpımı denir.