Page 45 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

44 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Reel Kuaterniyonların Üstel Gösterimi

Reel Kuaterniyonların Üstel Gösterimi

2.15 Teorem Her q birim kuaterniyonu, vektörel kısmı n ∈ R olmak üzere, üstel
3
olarak
q =  n
¸ seklinde yazılabilir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Bir birim q ∈ H kuaterniyonun : n ∈ R ve n = −1 olmak üzere,
2
3
q =cos  + n sin 

formunda yazılabilece˘ gini yukarıda gördük. Di˘ ger taraftan,  , sin  ve cos  fonksiyonlarının
seri açılımları göz önüne alınırsa, n = −1 oldu˘ gu da kullanılarak
2
(n) (n) 2 (n) 3
 n =1 + + + + ···
1! 2! 3!
n  2 n 3  4 n 5
=1 + − − + + − ·· ·
1! 2! 3! 4! 5!
µ 2 4 ¶ µ 3 5 ¶
   
= 1 − + − ·· · + n  − + − ···
2! 4! 3! 5!
=cos  + n sin 
¸ seklinde yazılabilir. O halde, q birim kuaterniyonu için,

q =  n =cos  + n sin 
elde edilir.

Örnek 2.14
1 1 1 1
q = + i − j + k
2 2 2 2
birim kuaterniyonunu üstel formda yazınız.
i − j + k
Çözüm : n = √ olmak üzere,
3
◦
◦
q = cos 60 + n sin 60 =  n3
¸ seklinde yazılabilir.

Sonuç 2.2 Herhangi bir q ∈ H kuaterniyonunu da üstel formda yazabiliriz. Teorem 211
göz önüne alınırsa,
q = kqk (cos  + n sin )= kqk  n
¸ seklinde yazılabilir.