Page 41 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

40 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
Reel Kuaterniyonlar Için De Moivre Formülü

˙
Kuaterniyonlar Için De Moivre Formülü

2.13 Teorem (De Moivre Formülü) H kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi
bir
q = kqk (cos  + n sin )
kuaterniyonu için,  ∈ Z olmak üzere,


q = kqk (cos  + n sin )
e¸sitli˘ gi vardır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Önce do˘ gal sayılar için, tümevarımla yapaca˘ gız.  =1 için formül do˘ grudur. Kabul edelim
ki,  ∈ N için,



q = kqk (cos  + n sin )
2
do˘ gru olsun. q +1 için de, formülün do˘ grulu˘ gunu görelim. Gerçekten, n = −1 oldu˘ gu da
kullanılarak,

q +1 = kqk (cos  + n sin ) kqk (cos  + n sin )
+1
= kqk (cos  + n sin ) (cos  + n sin )
+1
= kqk (cos  cos  − sin  sin  +(cos  sin  +sin  cos ) n)
+1
= kqk (cos ( +1)  + n sin ( +1) ) 
elde edilir. O halde,  =  +1 için de formülün do˘ grulu˘ gunu gördük. Yani, her  ∈ N için
formülümüz do˘ grudur. Di˘ ger taraftan,
q kqk (cos  − n sinh ) −1
−1
q = 2 = 2 = kqk (cos  − n sinh )
kqk kqk
oldu˘ gundan,
q − = kqk − (cos  − n sinh )
−
= kqk (cos (−)+ n sinh (−))
bulunur. Yani, negatif  tamsayıları için de formül do˘ grudur. O halde, her  ∈ Z için,


q = kqk (cos  + n sin )
e¸sitli˘ gi vardır.

Örnek 2.10
q =1 + 2i − j +2k kuaterniyonunun 10’uncu kuvvetini hesaplayınız.

Çözüm : Önce kuaterniyonu kutupsal formda yazmalıyız.  q  0 oldu˘ gundan,
kv  k
 =arctan =arctan 3
 q
olur.