Page 39 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

38 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Kuaterniyonların Kuvveti

Bir kuaterniyonun bir do˘ gal sayı kuvvetini elemanter yöntemlerle hesaplayabiliriz. Hatta,
a¸sa˘ gıda binom katsayıları yardımıyla da ifade edebiliriz. Fakat bu yöntem, çok da kullanı¸slı
bir yöntem de˘ gildir.
Daha sonra, çok daha kullanı¸slı olan ve aynı zamanda bir kuaterniyonun rasyonel kuvvetlerini
de hesaplayabilece˘ gimiz de Moivre formülü verilecektir. Bu formülü vermeden önce, bir
kuaterniyonun ­inci tamsayı kuvvetini veren formülü verip, kanıtını yapalım.

Bir Kuaterniyonun Do˘ gal Sayı Kuvveti

2.12 Teorem q =  q + v  ∈ H kuaterniyonun ­inci kuvveti  =  q ve  = hv   v  i
olmak üzere,  çift ise,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2 µ ¶ 2 µ ¶
X   X  

q = ⎣  −2 (−) ⎦ + ⎣  −2−1 (−) ⎦ v  
2 2 +1
=0 =0
ve  tek ise,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
(−1)2 µ ¶ (−1)2 µ ¶
X  X 

q = ⎣  −2 (−)  ⎦ + ⎣  −2−1 (−)  ⎦ v 
2 2 +1
=0 =0
ile bulunur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kanıtını tümevarımla yapalım.  =2 için,
" # " #
1 µ ¶ 1 µ ¶
X 2 X 2 ¡ ¢
2
2
q =  2−2 (−)  +  2−2 (−)  v  =  −  +(2) v 
2 2 +1
=0 =0
oldu˘ gundan do˘ grudur. Kabul edelim ki,  =2 için do˘ gru olsun.
pr =  p  r − hv p  v r i +  p v r +  r v p + v p × v r
e¸sitli˘ ginden,
P

 ¡
2
2 2
¡
2
S(q q )=  −  ¢  ¡ ¢  2−2 (−) − 2 P 2 ¢  −2−1 (−) 
2 2+1
=0 =0
 ¡ ¢  ¡ ¢  ¡
P 2 2−2+2  P 2 2−2 +1 P 2 ¢ 2−2 +1
= 2  (−) + 2  (−) +2 2+1  (−)
=0 =0 =0
 ¡
 ¡ ¢
¡ ¢ P 2 ¢ +1 P 2 +1
2
=  2+2 +  2−2 (−) +  2−2 (−)
0 2+2 2
=0 =0
 ¡
P 2 ¢ 2−2 +1
+2 2+1  (−)
=0