Page 34 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 33

Kuaterniyon Çarpımının Özellikleri

2.8 Teorem Kuaterniyonlar kümesinde, q ∈ H 1 bir birim kuaterniyon ve p bir
has kuaterniyon olsun. Bu durumda,

2
qpq −1 =  v p − hv   v  i v p +2 hv   v p i v  +2 q (v  × v p )
q
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
q =  q + v  ve p = v p diyelim. q birim oldu˘ gundan, q −1 = q =  q − v  olur. Buna göre,
qpq −1 = qv q
p
=( q + v q ) v p ( q − v q )
=( q v p + v q v  )( q − v q )
=( q v p − hv q  v p i + v q × v p )( q − v q )
2
=  v p −  q hv q  v p i +  q (v q × v p ) −  q v p v q + hv q  v p i v  − (v q × v p ) v q
q
2
=  v p −  q hv   v p i +  q (v q × v p ) −  q (− hv p  v q i + v p × v q )
q
+ hv q  v p i v q − (− hv q × v p  v q i +(v q × v p ) × v q )
=  q v p +  q (v q × v p ) −  q (v p × v q )+ hv q  v p i v q
+ hv q × v p  v q i − (v q × v p ) × v q
olur. Burada, hv q × v p  v q i =0 oldu˘ gu ve Lagrange Özde¸sli˘ gi olarak bilinen,

(x × y) × z = hx zi y− hy zi x
e¸sitli˘ gi kullanılırsa,
2
qpq −1 =  v p +  q (v q × v p ) −  q (v p × v q )+ hv q  v p i v  − hv q  v  i v p + hv p  v q i v q
q
¡ 2 ¢
=  − hv q  v q i v p +2 hv q  v p i v q +2 q (v q × v p )
q
elde edilir.

¨ ¥
˙
2.9 F Iki Kuaterniyonun Benzerli˘gi (Similarity of Quaternions) F
§ ¦
p ve q kuaterniyonları için,

r −1 pr = q
olacak ¸sekilde sıfırdan farklı bir r kuaterniyonu bulunabiliyorsa, p ve q kuaterniyonlarına
benzer kuaterniyonlar denir ve
p ∼ q
biçiminde gösterilir.