Page 29 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

28 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Kuaterniyonlar Çarpımının Birle¸sme Özelli˘ gi Vardır

2.3 Teorem Kuaterniyonlar kümesinde, kuaterniyon çarpımı i¸sleminin birle¸sme özel­
li˘ gi vardır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve r =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için,

(pq) r = p (qr)
oldu˘ gu, uzun ve sıkıcı i¸slemlerle görülebilir. Matrislerle a¸sa˘ gıdaki gibi gösterebiliriz.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2  1  4 − 3 ⎥
 p = ⎢ ⎥ ve  r = ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 − 4  1  2 ⎦
 4 − 3  2  1  4  3 − 2  1
olmak üzere,

(pq) r =  r ( p (q)) ve p (qr)=  p ( r (q))
¸ seklinde yazılabilir.  p  r =  r  p oldu˘ gundan dolayı,

(pq) r = p (qr)
e¸sitli˘ gi vardır.

Bir Kuaterniyonun E¸sleni˘ gi

Kompleks sayılardakin e¸slenik tanımına benzer ¸sekilde, kuaterniyonlar için de e¸slenik tanımı
yapılabilir.

¨ ¥
2.5 F Bir Reel Kuaterniyonun E¸sleni˘gi (Conjugate of a Real Quaternion) F
§ ¦
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =  q + v  kuaterniyonu için, vektörel kısmın i¸saretinin de˘ gi¸stir­
ilmesiyle elde edilen,

 q − v  =  1 −  2 i −  3 j −  4 k
kuaterniyonuna, q kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi denir ve q ile gösterilir. Buna göre,

q + q =2 q
olur. q = q olması için gerek ve yeter ko¸sul, q ∈ R olmasıdır.

Örnek 2.4
q =1 + 2i − 3j +2k kuaterniyonunun e¸sleni˘ gi,

q =1 − 2i +3j − 2k
olur.