Page 25 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

24 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
Kuaterniyonlar Kümesinde I¸slemler
H kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,

p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
kuaterniyonu için, iki kuaterniyonun e¸sitli˘ gi, toplaması, skalerle çarpması ve iki kuaterniyonun
çarpımı a¸sa˘ gıdaki ¸sekilde tanımlanır.
˙
i. Iki Kuaterniyonun E¸sitli˘ gi :
p =q ⇔  1 =  1  2 =  2  3 =  3 ve  4 =  4
ii. Toplama : +: H × H → H
p + q =( 1 +  1 )+( 2 +  2 ) i +( 3 +  3 ) j +( 4 +  4 ) k
iii. Skalerle Çarpma · : R × H → H,  ∈ R için,
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
˙
iv. Iki Kuaterniyonun Çarpımı : · : H × H → H,
˙ Iki kuaterniyon çarpılırken,
2
2
2
i = j = k = −1 ij = −ji = k jk = −kj = i ki = −ik = j
oldu˘ gu kullanılır. Buna göre,
pq =( 1 +  2 i +  3 j +  4 k)( 1 +  2 i +  3 j +  4 k)
=  1  1 − ( 2  2 +  3  3 +  4  4 )+ i ( 1  2 +  1  2 +  3  4 −  3  4 )
+j ( 1  3 +  1  3 +  4  2 −  4  2 )+ k ( 1  4 +  1  4 +  2  3 −  2  3 )
¸ seklinde yazılabilir. Açıktır ki, bu çarpımı ezberlemek ve iki sayının kuaterniyon çarpımını
elde etmek, kompleks sayılarda oldu˘ gu kadar kolay de˘ gildir. Bu çarpımda, a¸sa˘ gıda verilen
kuaterniyon çarpımı tablosu kullanılabilir.
· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j
j j −k −1 i
k k j −i −1

2.3 Alıştırma Yukarıdaki kuaterniyon çarpımı tablosunu kullanarak, p =1 + i + j + k ve
q =1 + 2i +3j+4k kuaterniyonları için, pq ve qp çarpımlarını bulunuz.
Yanıt : pq = −8+4i +2j +6k ve qp = −8+ 2i +6j +4k
˙
˙
Kuaterniyon Çarpımının Öklidyen Iç Çarpım ve Vektörel Çarpımla Ifadesi
Kuaterniyon çarpımını daha basit ¸sekilde de tanımlamak mümkündür. Kuaterniyonların vek­
törel kısmını R uzayı ile özde¸sle¸stirerek, Öklidiyen iç çarpım ve vektörel çarpım yardımıyla,
3
· : H × H → H (p q) → pq
kuaterniyon çarpımını,

pq =( p + v  )( q + v q )=  p  q − hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p × v q
¸ seklinde ifade edebiliriz. Ayrıca, p ve q iki has kuaterniyon ise, bunların çarpımı,
pq = − hv p  v q i + v p × v q
¸ seklinde, sadece iç çarpım ve vektörel çarpımla ifade edilebilir.