Page 23 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

22 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
2.1 F Kuaterniyon (Quaternion) F
§ ¦
 1  2  3  4 reel sayılar olmak üzere, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k formunda yazılan ve
2
2
2
i = j = k = −1 ij = −ji = k, jk = −kj = i, ki = −ik = j, (2.1)
temel e¸sitliklerini sa˘ glayan sayılara kuaterniyon denir. Kuaterniyonlar kümesi H ile gös­
terilir. Görüldü˘ gü gibi, ikili çarpımları vektörel çarpım gibi davranmaktadır ve vektörel
çarpımdaki dairesel döngü vardır.
Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k kuaterniyonunun,
 2 i +  3 j +  4 k

ile verilen kısmına vektörel kısım denir, v  veya V(q) ile gösterilir.  1 de˘ gerine de, q
kuaterniyonunun skaler kısmı denir,  q veya  (q) ile gösterilir. Her kuaterniyonu, bir skaler
ve bir vektörün toplamı olarak,

q =  q + v q
¸ seklinde yazabiliriz.

Not 2.2 Kuaterniyonlar kümesindeki çarpma i¸sleminin birle¸sme özelli˘gi vardır. Bunu ele­
manter i¸slemler yardımıyla, 2.1 e¸sitliklerini kullanarak kolayca görebiliriz. Fakat, çok fazla
i¸slemle u˘gra¸smak yerine, bunu daha kısa ¸sekilde görebiliriz. Teorem 2.3’de görebilirsiniz.
Birle¸sme özelli˘ginin varlı˘gı, kuaterniyonları daha sade ¸sekilde tanımlamamıza imkan verir.
Buna göre, çarpmaya göre birle¸sme özelli˘ginin oldu˘gu
© 2 2 2 ª
H =  1 +  2 i +  3 j +  4 k : i = j = k = ijk = −1 1  2  3  4 ∈ R
dörtlü sayı kümesine, kuaterniyonlar kümesi, bu kümenin elemanlarına da kuaterniyon denir.
2
2
2
i = j = k = ijk = −1
e¸sitlikleri, yukarıdaki tanımda verilen tüm e¸sitlikleri bulabilmemiz için yeterlidir. Örne˘gin,
ik = −j oldu˘gunu görelim. Bunun için, ijk = −1 e¸sitli˘gini, sa˘gdan k soldan i ile çarparsak,
birle¸sme özelli˘ginin varlı˘gını kullanarak sırasıyla,
i (ijk) k = −ik
(ii) j (kk)= −ik
j = −ik
e¸sitli˘ginden, ik = −j elde edilir. Buna göre,

· 1 i j k
1 1 i j k
i i −1 k −j (2.2)
j j −k −1 i
k k j −i −1
kuaterniyon çarpımı tablosunu olu¸sturabiliriz.

2.1 Alıştırma H kümesinde verilen ikkjikjiijk ifadesinin j oldu˘ gunu görünüz.

2
2.2 Alıştırma H kümesinde (i + j + k) ifadesini açınız.