Page 26 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 25

Örnek 2.2
p =1 +2i −3j +2k ve q =2 +3i +j −4k olmak üzere, pq ve qp kuaterniyon çarpımlarını bulunuz.
Çözüm : pq =  p  q − hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p × v q e¸sitli˘ gini kullanalım.
¯ ¯
¯ i j k ¯
¯ ¯
pq =1·2 − h(2 −3 2)  (3 1 −4)i +1 (3 1 −4) + 2 (2 −3 2) + ¯ 2 −3 2 ¯
¯ ¯
¯ 3 1 −4 ¯
=2 − (−5) + 1 (3 1 −4) + 2 (2 −3 2) + (10 14 11)
=(7 17 9 11)
=7 + 17i +9j +11k
bulunur. Benzer ¸sekilde, qp=7 − 3i − 19j − 11k oldu˘ gu bulunabilir.

2.4 Alıştırma p =1+i+k ve q =2+3i+j kuaterniyonları için, pq ve qp çarpımlarını yukarıdaki
yöntemle bulunuz.
Yanıt : pq = −1+4i +4j +3k ve qp = −1+ 6i − 2j + k

2.5 Alıştırma p = i + j + k ve q =3i + j + 2k has kuaterniyonları için, pq ve qp çarpımlarını
yukarıdaki yöntemle bulunuz. v pq = −v qp oldu˘ gunu görünüz.
Yanıt : pq = −6+ i + j − 2k ve qp = −6 − i − j +2k

Kuaterniyonlar Çarpımı De˘ gi¸smeli De˘ gildir.

2.1 Teorem p q ∈ R ve p q ∈ H için, pq = qp olması için gerek ve yeter ko¸sul
v  vektörünün, v q vektörüne paralel olmasıdır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
pq ve qp çarpımları göz önüne alınırsa,

pq =  p  q − hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p × v q
qp =  q  p − hv q  v p i +  q v  +  p v q + v q × v p
ifadelerinin e¸sit olması için ancak ve ancak v p × v q = v q × v p olması gerekir. Bu e¸sitlik ise,
ancak ve ancak

v p = v q
iken sa˘ glanır ki, bu v p vektörünün, v q vektörüne paralel olması demektir.

Sonuç 2.1 p ve q vektörel kısımları birbirine paralel olan iki kuaterniyon ise (v q = v p ),

pq =  p  q − hv p  v q i +  p v  +  q v p
2
=  p  q −  kv p k +( p +  q ) v p
2
olur. Yani,  pq =  p  q −  kv p k ve v pq =( p +  q ) v p olur.