Page 28 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 27

¨ ¥
2.4 F Soldan ve Sa˘gdan Kuaterniyon Çarpım Matrisleri F
§ ¦
Herhangi p ∈ H kuaterniyonu için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2  1  4 − 3 ⎥
 p = ⎢ ⎥ ve  p = ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 − 4  1  2 ⎦
 4 − 3  2  1  4  3 − 2  1
matrislerine, sırasıyla sol ve sa˘ g çarpım matrisleri denir. Herhangi, p,q ∈ H kuaterniyon­
ları için,

 p  q =  q  p
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Bu matrislerin özelliklerini daha sonra detaylı olarak inceleyece˘ giz.

Örnek 2.3
p =1 + 2i − 3j +2k ve q =2 + 3i + j − 4k olmak üzere, pq ve qp kuaterniyon çarpımları sol ve sa˘ g
çarpım matrisleri yardımıyla bulunuz.

Çözüm : p =1 + 2i − 3j +2k için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −2 3 −2 1 −2 3 −2
⎢ 2 1 −2 −3 ⎥ ⎢ 2 1 2 3 ⎥
 p = ⎢ ⎥ ve  p = ⎢ ⎥
⎣ −3 2 1 −2 ⎦ ⎣ −3 −2 1 2 ⎦
2 3 2 1 2 −3 −2 1
oldu˘ gundan,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −2 3 −2 2 7
⎢ 2 1 −2 −3 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 17 ⎥
pq =  p (q)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ −3 2 1 −2 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 9 ⎦
2 3 2 1 −4 11
=7 + 17i +9j +11k
ve
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −2 3 −2 2 7
⎢ 2 1 2 3 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ −3 ⎥
qp =  p (q)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ −3 −2 1 2 ⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ −19 ⎦
2 −3 −2 1 −4 −11
=7 − 3i − 19j − 11k
elde edilir.

2.6 Alıştırma p =1+i+k ve q =2+3i+j kuaterniyonları için, pq ve qp çarpımlarını yukarıdaki
yöntemle bulunuz.
Yanıt : pq = −1+4i +4j +3k ve qp = −1+ 6i − 2j + k

2.7 Alıştırma p = i + j + k ve q =3i + j + 2k has kuaterniyonları için, pq ve qp çarpımlarını
yukarıdaki yöntemle bulunuz. v pq = −v qp oldu˘ gunu görünüz.
Yanıt : pq = −6+ i + j − 2k ve qp = −6 − i − j +2k