Page 33 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

32 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bir Kuaterniyonun Tersi

¨ ¥
2.8 F Bir Kuaterniyonun Tersi (Inverse of a Quaternion) F
§ ¦
Kuaterniyonlar kümesinde, herhangi bir q ∈ H için,

pq = qp =1
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan, p kuaterniyonuna q kuaterniyonunun tersi denir ve q −1 ile gösterilir.

Bir Kuaterniyonun Tersinin Bulunması

2.7 Teorem Kuaterniyonlar kümesinde, herhangi bir q ∈ H kuaterniyonunun tersi
tektir ve
q
q −1 = 2
kqk
kuaterniyonuna e¸sittir. q birim ise, q −1 = q olur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kabuledelimki, q kuaterniyonunun farklı iki tersi p ve r olsun. Bu durumda,
qp = pq = qr = rq =1
olacaktır. Bu durumda,
p = p1= p (qr)=(pq) r =1r = r
oldu˘ gundan, p = r çeli¸skisi elde edilir.
q qq kqk 2
qq −1 = q = = =1 ve q −1 q =1
2 2 2
kqk kqk kqk
oldu˘ gundan, q kuaterniyonunun tersi,
q
q −1 =
2
kqk
olur.

Örnek 2.7
√ √
q =2 + 3i + j + 2k kuaterniyonunun tersini bulalım. kqk = 4+9+1+4 = 3 2 oldu˘ gundan,
√
q 2 − 3i − j − 2k 2
−1
q = = √ = (2 − 3i − j − 2k)
2
kqk 3 2 6
elde edilir.

2.11 Alıştırma p = i + j + k ve q =1 + 2i + j + 2k kuaterniyonlarının tersini bulunuz.
i + j + k 1 − 2i − j − 2k
Yanıt : p −1 = −  q −1 = 
3 10