Page 32 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 31

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
N1. q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H için,
2
2
2
2
kqk =0 ⇔  +  +  +  =0 ⇔  1 =  2 =  3 =  4 =0 ⇔ q =0
3
1
4
2
oldu˘ gundan, pozitif tanımlılılık ko¸sulu sa˘ glanır.
q ¡ ¢
2
2
2
N2.  ∈ R için, kqk =  2  +  +  +  2 = ||kqk 
1 2 3 4
N3. kp + qk ≤ kpk + kqk üçgen e¸sitsizli˘ gi ko¸sulunun sa˘ glandı˘ gını görelim.
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H için,
2
kp + qk =(p + q)(p + q)
= pp + pq + qp + qq
2 2
= kpk +2 hp qi + kqk
2 2
≤ kpk +2 |hp qi| + kqk
2 2
≤ kpk +2 |hp qi| + kqk
elde edilir. Burada da, p q ∈ R için, Öklid iç çarpımı için,
4
|hp qi| ≤ kpkkqk
Schwarz e¸sitsizli˘ gi göz önüne alınırsa, kp + qk ≤ kpk + kqk elde edilir.
Kuaterniyonlar Kümesinde Normun Özellikleri

2.6 Teorem A¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.
1. kqk = kqk
2. kpqk = kpkkqk 

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
√ p p
1. kqk = qq = qq = qq = kqk 
2. Kuaterniyonlar kümesinde, e¸slenik ve normun özellikleri kullanılarak,
q
p p p 2 p
kpqk = pqpq = pqqp = p (qq) p = p kqk p = kqk pp = kqkkpk
elde edilir.

¨ ¥
2.7 F Birim Kuaterniyon ­ Versör F
§ ¦
q
Normu1olankuaterniyona birim kuaterniyon denir. q 6=0 ise, q 0 = birim kuater­
kqk
niyondur. Tüm birim kuaterniyonların kimesi H 1 ile gösterilir. Birim kuaterniyonlara versör
de denir.

1 2+3i + j + 2k
2.10 Alıştırma p =  + (i + j + k) ve q = kuaterniyonları birim ise  ve 
2 
de˘ gerlerini bulunuz.
1 √
Yanıt :  =  =3 2.
2