Page 27 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

26 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
Kuaterniyonlar Kümesi Çarpımı Toplama I¸slemi Üzerine Da˘ gılmalıdır.

2.2 Teorem Kuaterniyonlar kümesinde, çarpma i¸sleminin, toplama i¸slemi üzerine
sa˘ gdan ve soldan da˘ gılma özellikleri vardır. Yani, p q r ∈ H için,

r (p + q)= rp + rq ve (p + q) r = pr + qr
e¸sitlikleri sa˘ glanır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
r (p + q)= rp + rq oldu˘ gunu gösterelim.  p+q =  p +  q  v p+q = v p + v  oldu˘ gu ve R 3
uzayında iç çarpımla, vektörel çarpımın özellikleri kullanılırsa,

r (p + q)=  r  p+q − hv r  v p+q i +  r v p+q +  p+q v r + v r × v p+q
=  r ( p +  q ) − hv r  v p + v q i +  r (v p + v q )
+( p +  q ) v r + v r × (v p + v q )
=( r  p − hv r  v p i +  r v p +  p v r + v r × v p )
+( r  q − hv r  v q i +  r (v q )+  q v r + v r × v q )
= rp + rq
elde edilir. Di˘ geri de benzer ¸sekilde gösterilebilir.

˙
Kuaterniyon Çarpımının Matrislerle Ifadesi, Sol ve Sa˘ g Çarpım Matrisleri
H kuaterniyonlar kümesinde verilen herhangi iki,
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k
kuaterniyonu için, q kuaterniyonunu, p kuaterniyonu ile soldan ve sa˘ gdan çarpımını matrisler
yardımıyla ifade edelim. Buna göre,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
 p (q)= pq = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4 − 3  2  1  4
ve

⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1
⎢  2  1  4 − 3 ⎥ ⎢  2 ⎥
R p (q)= qp = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣  3 − 4  1  2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4  3 − 2  1  4

¸ seklinde yazılabilir.