Page 24 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 23

Kuaterniyonlar kümesinde, ij = −ji ve di˘ ger birimlerin kendi arasındaki çarpımından açık­
tırki, çarpma i¸slemine göre de˘ gi¸sme özelli˘ gi yoktur. Yani, iki kuaterniyonun çarpımında
çarpım sırası önemlidir. Kuaterniyonlar kümesinde, e¸sitlik, toplama ve skalerle çarpma i¸slem­
4
leri R uzayındakine benzer ¸sekilde tanımlandı˘ gından, H kümesi, R vektör uzayı ile özde¸sle¸s­
4
tirilir. Bu durumda,
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ R 4
için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0 0
0
1
0
0
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
1= ⎢ ⎥  i = ⎢ ⎥ j = ⎢ ⎥ k = ⎢ ⎥
0
0
1
0
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0 0 1
ile ifade edilir. Buna göre, bazen bir kuaterniyonu,
⎡ ⎤
 1
⎢  2 ⎥
q = ⎢ ⎥
⎣  3 ⎦
 4
¸ seklinde de, sütun matrisiyle gösterebiliriz.
3
Kuaterniyonların vektörel kısımları da, R uzayı ile özde¸sle¸stirilir. Kuaterniyonların vektörel
kısımlarının ifade edilmesinde,
v q =  2 i +  3 j +  4 k ∈ R 3
e¸sitli˘ ginde, i j k, R uzayının standart birim vektörleri gibi
3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 0 0
i = 0 j = 1 k = 0
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
0 0 1
⎡ ⎤
 2
¸ seklinde ifade edilir. Bazen, kısaca v q = ⎣  3 ⎦ ile de gösterilebilir.
 4
˙ Iki kuaterniyonun çarpımı ise, iki kuaterniyonun çarpım sırası göz önünde bulundurularak,
yukarıda verilen temel e¸sitliklerinin kullanılmasıyla elde edilir. A¸sa˘ gıda bunları detaylı olarak
verece˘ giz.
¨ ¥
2.3 F Has Kuaterniyon (Pure Quaternion) F
§ ¦
Bir kuaterniyonun skaler kısmı sıfır ise, bu kuaterniyona (pure) has kuaterniyon denir. Buna
göre, R uzayındaki her vektör bir has kuaterniyon olarak nitelendirilebilir.
3
Kuaterniyonlar  

  Has (Pure)
Kuaterniyonlar

v p p=0+v p

4
Kuaterniyonlar R ile, kuaterniyonların vektör kısmı ise R ile özde¸sle¸stirilir.
3