Page 21 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

20 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Re(w(u − v)) = Re w (u − v)=0 y
olacak ¸sekilde bir w kompleks sayısı B
z
alalım. w H
−−→
−−→ −−→  0 u Sim ℓ(z)
 =  + ı ı
2 v A B z
e¸sitli˘ gine göre, O C x
 (u − v)= z − u + w
yazılabilir. ¸Simdi, her iki taraftan w
ile iç çarpımını alalım.
Re ( (u − v) w)=Re ((z − u) w)+  Re (ww)
e¸sitli˘ ginden,
Re (z − u) w
 = − 2
|w|
−−→
 0 z − z
0
olur. Böylece, w = = e¸sitli˘ ginden,
2 2
2Re(z − u) w
0
z = z − w
2
|w|
elde edilir. Özel olarak, do˘ gru orjinden geçiyorsa, u =0 olaca˘ gından,
2Re(zw)
Izd  (z)= z − w
2
|w|
bulunur.

Örnek 1.9
z =2 + 7i noktasının  =3 − 4 do˘ grusuna göre simetri˘ gini bulunuz.

Çözüm :  =0 ise  = −4 için u = −4 ve  =1 ise  = −1 için v =1− sayılarını alalım.
u − v = −1 − 3i
olaca˘ gından, w =3− alınabilir. Böylece, z − u =2 + 11 oldu˘ gundan,
2Re (z − u) w
z 0 = z − w
2
|w|
2Re((2 + 11i)(3 + i))
=(2 + 7i) − (3 − i)
10
=(2 + 7i)+ (3 − i)
=5 + 6i
elde edilir.

1.4 Alıştırma z =3 + 5i noktasının  =  − 2 do˘ grusuna göre simetri˘ gini bulunuz.
Yanıt : (7 1) 