Page 17 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

16 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

 kadar döndürdü˘ gümüzde elde edilen nokta bulunur. Örne˘ gin, herhangi bir z 1 =  + i
kompleks sayını

◦
z 2 = i = cos 90 + i sin 90 = i
◦
ile çarparsak, z 1 z 2 = − + i elde edilir ki, bu ( ) noktasının 90 saat yönünün tersine
◦
döndürülmesiyle elde edilen noktadır.
¸ Sekilde, z 1 =cos +i sin  kompleks sayısının, w =cos +i sin  birim kompleks sayısı ile
çarpılması sonucu elde edilen R  (z)= wz kompleks sayısı çizilmi¸stir. z kompleks sayısının
belirtti˘ gi nokta, w birim kompleks sayısının argümenti olan  açısı kadar saat yönünün tersine
dönmü¸stür.

y
Rz  rcos    isin  

r z  rcos  isin
θ r
α r x

O halde, herhangi bir kompleks sayı
z =cos  + i sin  =  i
birim kompleks sayısıyla çarpılırsa, bu kompleks sayıya kar¸sılık gelen koordinat  açısı kadar
saat yönünün tersine dairesel olarak döner. Yani, kompleks sayılar kümesi, Öklid düzle­
mindeki dönmelerle ili¸skilidir. Her birim z =  + i =cos  + i sin  kompleks sayısı Öklid
düzleminde bir
∙ ¸ ∙ ¸
cos  sin   
=
− sin  cos  −
dönme matrisine kar¸sılık gelir. Öklid düzlemindeki dönme matrislerinin kümesi
© ª

SO (2) =  ∈ M 2×2 (R):  =  −1 ve det  =1
½∙ ¸ ¾
cos  sin 
= :  ∈ [0 2]
− sin  cos 
biçiminde ifade edilebilir. C 1 ile birim kompleks sayıların kümesi gösterilirse,
 : C 1 → SO (2) 
∙ ¸
cos  sin 
z =cos  + i sin  →  (z)=
− sin  cos 
dönü¸sümü çarpma i¸slemini koruyan bir grup izomorfizmasıdir. Gerçekten de :
 (z)=  (w) ⇒ z = w
oldu˘ gundan birebir, her  ∈ SO (2) için,  ()=  olacak ¸sekilde bir  ∈ C 1 oldu˘ gundan
örten ve

 (zw)=  (z)  (w)
grup i¸slemi korundu˘ gundan bir homomorfizm oldu˘ gu görülebilir. Birebir, örten homomorfiz­
maya izomorfizma denildi˘ gini hatırlayınız. O halde, SO (2) dönme matrislerinin grubu ile,
birim kompleks sayılarının kümesi birbirine izomorftur.