Page 13 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 13
12 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
˙
˙
˙ Iki kompleks Sayının Çarpımının Iç çarpım ve Vektörel Çarpımla Ifadesi
Herhangi z ve w kompleks sayılarının cebirsel çarpımı :
zw = hz wi + z × w = |z||w| cos + i (|z||w| sin )
biçiminde yazılabilir. E˘ ger, z ve w birim ise, çarpımları da birimdir ve zw =cos + i sin
formundadır.
Örnek 1.1
z =2 + 3i oldu˘ guna göre, a) z =? b) |z| =? c) z −1 =?
√ √ −1 2 − 3i
Çözüm : z =2 − 3i |z| = 4+9 = 13 ve z = √ bulunur.
13
Kuaterniyon Kümesinin Cebirsel Özellikleri
1.1 Teorem z 1 z 2 z 3 ∈ C ve ∈ R olmak üzere a¸sa˘ gıdakiler sa˘ glanır.
1. z 1 + z 2 = z 1 + z 2
2. z 1 z 2 = z 1 z 2
3. z 1 = z 1
4. |z 1 z 2 | = |z 1 ||z 2 |
5. |z 1 | = |||z 1 |
6. (z 1 z 2 ) −1 = z −1 −1
z
1 2
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
2’nciyi kanıtlayalım. z 1 = 1 + i 1 ve z 2 = 2 + i 2 olsun. Bu durumda,
z 1 z 2 =( 1 2 − 1 2 )+ i ( 1 2 + 2 1 )
oldu˘ gundan,
z 1 z 2 =( 1 2 − 1 2 ) − i ( 1 2 + 2 1 )
=( 1 2 − i 1 2 ) − ( 1 2 + i 2 1 )
= 1 ( 2 − i 2 ) − i 1 ( 2 − i 2 )
=( 1 − i 1 )( 2 − i 2 )
= z 1 z 2
elde edilir. ¸Simdi de, 4’üncüyü kanıtlayalım. 2’nci kullanılarak
|z 1 z 2 | = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 1 z 2 z 2 = |z 1 ||z 2 |
oldu˘ gu görülebilir. Di˘ gerlerini de siz kanıtlayınız.
