Page 16 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Düzlemsel Öklidyen Dönmeler ve Kompleks Sayılar 15

Kompleks Sayılarla Öklidyen Hareketler

Öklidiyen düzlemdeki dönü¸sümleri, kompleks sayılardaki i¸slemlerin özelliklerini kullanarak,
kompleks sayılar cinsinden ifade etmek mümkündür. A¸sa˘ gıda, öteleme, dönme ve yansıma
dönü¸sümlerinin kompleks sayılar yardımıyla nasıl ele alındı˘ gını bulabilirsiniz.
Öteleme Dönü¸sümü
˙ Iki kompleks sayının toplamı, geometrik olarak ötelemeyi ifade eder. w sabit bir kompleks
sayı olmak üzere,

 w : C → C (z)= w + u
dönü¸sümü, z kompleks sayısının w kompleks sayısı kadar ötelendi˘ gini gösterir. z =  + i
ve w =  + i için,
 w ( + i)=( + )+ i ( + ) veya  w ( )=( +   + )
¸ seklinde yazılabilir.

y
z+w
w

z
x

Dönme Dönü¸sümü
Kutupsal formda verilmi¸solan,
z 1 =  1 (cos  1 + i sin  1 ) ve z 2 =  2 (cos  2 + i sin  2 )
kompleks sayılarını göz önüne alalım. Bu iki kompleks sayının çarpımı

z 1 z 2 =  1  2 [(cos ( 1 +  2 )+ i sin ( 1 +  2 )]
biçimindedir. Elde edilen kompleks sayının uzunlu˘ gu, yani orjinden uzaklı˘ gı,

|z 1 z 2 | =  1  2
ile, kısaca, çarpılan kompleks sayıların uzunlu˘ gunun çarpımı ile verilebilir. Di˘ ger yandan, elde
edilen kompleks sayının,  ekseniyle yaptı˘ gı açı, çarpılan kompleks sayıların  ekseniyle yap­
tı˘ gı açıların toplamı kadardır. Bu durum bize, Öklid düzleminde dönme hareketini kompleks
sayıları kullanarak yorumlamızı sa˘ glayacaktır.

y z 1z 2  r 1r 2cos 1   2   isin 1   2 

z 2  r 2cos 2  isin 2 
 1   2
z 1  r 1cos 1  isin 1 
x
 1

 2

Herhangi bir z 1 =  + i kompleks sayısını, bir  2 =cos  + i sin  gibi uzunlu˘ gu1olan
bir kompleks sayı ile çarptı˘ gımızda,  düzlemindeki ( ) noktasını, saat yönünün tersine