Page 12 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Düzlemsel Öklidyen Dönmeler ve Kompleks Sayılar 11

Kompleks Sayının Normu (modülü)
Bu iç çarpıma ba˘ glı olarak z =  + i kompleks sayısının normu ise,
p p √ p
2
|z| = hz zi = Re (zz)= zz =  +  2
¸ seklinde tanımlanır ve |z| de˘ gerine  kompleks sayısının normu ya da modülü denir. Bu
de˘ gerin, z kompleks sayısının kompleks düzlemdeki konum vektörünün uzunlu˘ gu oldu˘ gu
açıktır ve geometrik olarak tutarlıdır. Ayrıca, norm aksiyomlarını da sa˘ glar. O halde,
2
zz = |z|
yazılabilir. Ayrıca, Cauchy­Schwarz e¸sitsizli˘ gini de,

hz wi =Re (zw) ≤ |z||w|
¸ seklinde yazabiliriz.
Bir Kompleks Sayının Tersi
Herhangi bir z =  + i kompleks sayısı için,
zz −1 = z −1 z =1
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan, z −1 sayısına, z kompleks sayısının tersi denir. Bu e¸sitlikleri z ile çarparsak
2
ve zz = |z| oldu˘ gunu kullanırsak, (zz) z −1 = z −1 (zz)= z e¸sitli˘ ginden,
z
−1
z = 2
|z|
 − i
elde edilir. Buna göre, herhangi z =  + i kompleks sayısının tersi de, z −1 =
2
 +  2
¸ seklinde tanımlanır.
˙ Iki kompleks sayı arasındaki açı
˙ Iki kompleks sayı arasındaki açı denilince, bu kompleks sayıların kompleks düzlemdeki konum
vektörlerinin arasındaki açı anla¸sılır

hz wi = |z||w| cos  =Re (zw)
ba˘ gıntısına göre, z =  1 + i 1 ve w =  2 + i 2 kompleks sayılarının arasındaki açı

hz wi Re (zw)  1  2 +  1  2
cos  = = = p p
2
2
|z||w| |z||w|  +  2 1  +  2 2
1
2
e¸sitli˘ gi ile bulunur.
˙ Iki kompleks Sayının Vektörel Çarpımı
z ve w kompleks sayılarının vektörel çarpımı :
i
z × w =(|z||w| sin ) i =Im (zw) i = (zw − zw)
2
¸ seklinde tanımlanır ve |z × w| = |z||w| sin  olur. z =  1 + i 1 ve w =  2 + i 2 için,
z × w =( 1  2 −  1  2 ) i ve |z × w| = | 1  2 −  2  1 |
bulunur. Ayrıca,

|z × w| | 1  2 −  2  1 |
sin  = = p p
2
2
|z||w|  +  2  +  2
1 1 2 2
elde edilir. Buradan, cos  +sin  =1 e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gı görülebilir.
2
2