Page 14 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Düzlemsel Öklidyen Dönmeler ve Kompleks Sayılar 13

Karma¸sık Sayılarda De Moivre Formülü

1.2 Teorem z =  (cos  + i sin ) ve  ∈ Z ise,


z =  (cos  + i sin )
olur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 ∈ N için, kanıtı tümevarımla kolayca yapabiliriz.  =1 için do˘ gru oldu˘ gu açıktır.  = 
için do˘ gru oldu˘ gunu kabul edelim. Buna göre,


z +1 = zz =  (cos  + i sin )  (cos  + i sin )
=  +1 (cos ( +1)  + i sin ( +1) )
elde edilir. O halde, her  ∈ N için kanıtlamı¸s olduk. di˘ ger yandan, z =  (cos  + i sin ) ise,
1 −1
−1
z = =  (cos  − i sin )
z
oldu˘ gundan, her  ∈ N için,
¢
z − = ¡ z −1  =  − (cos  − i sin )
=  − (cos (−)+ i sin (−))
oldu˘ gundan, her  ∈ Z için do˘ grulu˘ gu görülmü¸solur.

Örnek 1.2
z =1 + i kompleks sayısının 100’üncü kuvvetini bulunuz.

√ ³   ´
Çözüm : z =1 + i = 2 cos + i sin oldu˘ gundan,
4 4
z 100 =2 50 (cos 25 + i sin 25)= −2 20
elde edilir.

√
1.1 Alıştırma z =1 + i 3 ise  10 kompleks sayısının bulunuz.
√
1 3
Yanıt : 1024(− − )
2 2

¨ ¥
1.2 F Kompleks SayınınKökleri F
§ ¦
w ∈ C ve  bir pozitif tamsayı olmak üzere, z  = w e¸sitli˘ gini sa˘ glayan z kompleks
sayılarına, w kompleks sayısının ­inci dereceden kökleri denir.