Page 11 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

10 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bir Kompleks Sayının Kutupsal Formda Gösterili¸si

Herhangi bir kompleks sayı, reel kısmı apsis ve imajiner kısmı ordinat olmak üzere iki
boyutlu kooordinat sisteminde konum vektörü olarak gösterilebilir. Ordinatın imajiner kısmı
ifade etmesiyle elde edilen bu koordinat düzlemine kompleks düzlem denilir.
Herhangi z =  + i kompleks sayısını göz önüne alalım. Bu kompleks sayısını, kompleks
düzlemde ¸sekildeki gibi gösterebiliriz.

y z=x+iy
r

θ
O x Kutup Ekseni

¸ Simdi, kompleks sayılarla ilgili bazı temel bilgileri kısaca hatırlayalım.
¨ ¥
1.1 F Kompleks Sayılarda Argüment ve Kutupsal Form F
§ ¦
z =  + i kompleks sayısının,  ekseni ile yaptı˘ gı açıya, z kompleks sayısının argümenti

denir ve arg (z) ile gösterilir.  =  cos  ve  =  sin  e¸sitliklerine göre, tan  =

oldu˘ gundan,

 =arg ( + i)= arctan

p
2
2
ile bulunur. Ayrıca,  =  +  olacaktır. Di˘ ger yandan, z =  + i kompleks sayısını,
z =  + i =  (cos  + i sin )
¸ seklinde yazabiliriz. Bu yazılı¸sa, z kompleks sayısının kutupsal veya polar gösterimi denir
ve ço˘ gu zaman kısaca

z = cis
ile gösterilir. Uzunlu˘ gu 1 birim olan kompleks sayıya, birim kompleks sayı denir ve
z =cos  + i sin 
formundadır.

˙
Kompleks Sayılarda Iç Çarpım
Bir z =  1 + i 1 kompleks sayısı için, z =  1 − i 1 sayısına, z sayısının e¸sleni˘ gi denir.
Kompleks sayılar kümesi, reel sayılar cismi üzerinde 2 boyutlu bir vektör uzayıdır. Bu vektör
uzayında iç çarpım, z w ∈ C için,
h  i : C × C → R
zw + wz
(z w) → hz wi = =Re (zw)
2
¸ seklinde tanımlanır. Buna göre, z =  1 + i 1 ve w =  2 + i 2 ise,

hz wi =  1  2 +  1  2
olacaktır. Bu Öklid düzlemindeki iç çarpımdan ba¸ska bir¸sey de˘ gildir. Buna göre, kompleks
sayılar yardımıyla Öklid düzlemindeki hareketler incelenebilir.