Page 15 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

14 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Karma¸sık Sayının Kökleri

1.3 Teorem w =  (cos  + i sin ) kompleks sayısının ’inci dereceden kökleri
µ ¶
√  +2  +2
z =   cos + i sin  =0 1 2 − 1
 
biçimindedir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
z =  1 (cos  1 + i sin  1 ) kompleks sayısı, w =  (cos  + i sin ) kompleks sayısının ’inci
dereceden bir kökü olsun. Bu durumda,


z =  (cos  1 + i sin  1 )=  (cos  + i sin )
1
e¸sitli˘ gine göre, reel ve imajiner kısımlar e¸sit olması gerekti˘ ginden,
√  +2
 1 =   ve  1 =

olur. Yani, w kompleks sayısının  inci dereceden kökleri,  =0 1 2 − 1 için,
µ ¶
√  +2  +2
z =   cos + i sin
 
elde edilir.

Örnek 1.3
√
z =1 + i 3 sayısının küpkökünü bulunuz.
√
Çözüm : z =1 + 3=2 (cos 60 + i sin 60 ) oldu˘ gundan, kökleri,
◦
◦
◦
◦
z 0 =2 13 (cos 20 + i sin 20 ) 
◦
◦
z 1 =2 13 (cos 140 + i sin 140 )
=2 13 (cos 260 + i sin 260 )
◦
◦
z 2
bulunur.
F Özel olarak, z =1 denkleminin kökleri,  =0 1 2   − 1 için,

z  =cos (2)+ i sin (2)
biçiminde ifade edilir. Bu kökleri,
w =  i2 =cos (2)+ i sin (2)
2

olmak üzere, w w   w −1 ve w =1 biçiminde de gösterebiliriz. Bu kökler, birim çember içerisine
yerle¸smi¸s düzgün bir ­genin kö¸selerini belirtir. Buna göre,
¡
¡

z − 1=(x − 1) (x − w) x − w 2 ¢ ·· · x − w −1 ¢
biçimindedir.
√
√

1.2 Alıştırma z = −4 2+4 2i kompleks sayısının bulunuz küpkökünü bulunuz.
 √ 
Yanıt : (1 + ) 2 2(cos1112 +  sin 1112)  2(cos1912 +  sin 1912) 