Page 10 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Düzlemsel Öklidyen Dönmeler ve Kompleks

Sayılar

Kuaterniyonların ortaya çıkı¸sını ve geometrik uygulamalarını daha iyi anlayabilmek için, kom­
pleks sayılar kümesini geometrik yorumlarıyla birlikte iyi analiz gerekir. Karma¸sık sayılar
kümesi de denilen, kompleks sayılar kümesinin
© 2 ª
C =  + i :   ∈ R i = −1
biçiminde tanımlandı˘ gını biliyoruz. Kompleks sayılar, 16. yüzyılda, üçüncü ve dördüncü
˙
derece polinomların köklerinin bulunması için elde edilen formüllerde Italyan Matematikçiler
Niccolò Fontana Tartaglia ve Gerolamo Cardano tarafından kullanılmı¸stır. Fakat, sadece
3
reel sayı köklerle ilgilenmi¸slerdir. Tartaglia’nın formülü  −− =0 denkleminin köklerini
veren formüldür ve bu formüle göre,  −  =0 denkleminin bir kökü:
3
1 ³ √ 13 √ −13 ´
√ −1 + −1
3
2
olmaktadır. Bu kök saçma görünse de, i = −1 denilerek yapılan i¸slemler sonucunda aslında
bu kökün 1 oldu˘ gu görülmü¸stür. Daha sonra, toplama, çıkarma, çarpma ve kompleks sayıların
˙
köklerinin bulunması kuralları Italyan matematikçi Rafael Bombelli tarafından 1572’de geli¸s­
tirilmi¸stir. Bir çok matematikçi tarafından, ba¸slangıçta kompleks sayılar anlamsız ve hayali
görülmü¸s, i = −1 e¸sitli˘ ginin mümkün olmadı˘ gından yapılan i¸slemlerin saçma oldu˘ gu fikri
2
olu¸smu¸stur. Bu sayıların kullanımı, Leonhard Euler’in (1707–1783) ve Carl Friedrich
Gauss’un (1777­1855) çalı¸smalarına kadar bilim dünyasında kabul görmemi¸stir. 18. yüzyıl­
dan itibaren kompleks sayılar geni¸s bir kullanım alanına ula¸smı¸stır. Özellikle, 1730’da Abra­
ham de Moivre, tarafından kanıtlanan ve de Moivre formülü olarak literatüre girmi¸solan

(cos  + i sin ) =cos  + i sin 
formülü ve 1748 yılında ise Leonhard Euler tarafından verilen
cos  + i sin  =  i
e¸sitli˘ gi, kompleks sayıların bilim dünyasında kabul görmesinde çok önemli bir yere sahiptir.

Kompleks sayıların geometrik önemi ise, 1799 yılında da Caspar Wessel’in kompleks sayıları
düzlemdeki noktalarla e¸sleyerek, geometrik olarak yorumlamasıyla birlikte ba¸slamı¸svedaha
sonra kompleks sayıların dairesel dönmelere kar¸sılık gelmesiyle birlikte artmı¸stır.