Page 20 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Düzlemsel Öklidyen Dönmeler ve Kompleks Sayılar 19

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
¸ Sekilden takip edilirse, y z
−−→ −−→ −−→ B
 =  +  ⇒  (u − v)=(z − u)+ w w
¸ seklinde yazılabilir. Bu e¸sitli˘ gin her iki tarafının, w H
ile iç çarpımını alalım. Buna göre, v u Izd ℓ(z)
O A
 Re ((u − v) w)= Re ((z − u) w)+ Re (ww)= 0 x
e¸sitli˘ ginden,

Re ((z − u) w)
 = −
2
|w|
elde edilir. Buna göre,
Re ((z − u) w)
 = Izd  (z)= z − w
2
|w|
bulunur.

Örnek 1.8
z =2 + 7i noktasının  =3 − 4 do˘ grusu üzerindeki dik izdü¸süm noktasını bulunuz.

Çözüm : Do˘ gru üzerindeki iki kompleks nokta u = −4i ve v =1 − i olsun.
u − v = −1 − 3i
olaca˘ gından, w =3 − i alınabilir. Böylece, z − u =2 + 11i oldu˘ gundan,
Re ((z − u) w) Re ((2 + 11i)(3 + i))
 = Izd  (z)= z − w =2 + 7i − (3 − i)
2
|w| 10
7 13
= + i
2 2
elde edilir.

1.3 Alıştırma z =3 + 5i noktasının  =  − 2 do˘ grusu üzerindeki dik izdü¸süm noktasını bulunuz.
Yanıt : (5 3) 

Karma¸sık Sayılarla Bir Do˘ gruya Göre Simetri

1.6 Teorem Kompleks düzlemde, herhangi bir z kompleks sayısının, u ve v nokta­
larından geçen bir  do˘ grusuna göre simetri˘ gi, w noktası kompleks düzlemde

Re(w(u − v)) = Re w (u − v)= 0
olacak ¸sekildeki bir nokta olmak üzere,
2Re(z − u) w
Sim  (z)= z − w
2
|w|
ile bulunur.