Page 22 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 22
Kuaterniyonlar
Kuaterniyonlar kompleks sayıların genelle¸stirilmesi dü¸süncesinden yola çıkılarak, Sir William
Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında ke¸sfedilmi¸s dört boyutlu bir sayı sistemidir. Hamilton
ilk önce, üç boyutlu
2
2
+ i + j ∈ R i = j = −1
formunda sayılar tanımlamaya çalı¸smı¸s ve fakat bu ¸sekilde tanımlanan sayı kümesinin çarpım
i¸slemine göre kapalılık özelli˘ gini sa˘ glamadı˘ gını görmü¸stür. Bu ¸sekilde üç boyutlu kompleks
sayı sistemine benzer bir sistemin olamayaca˘ gını gören Hamilton, kuaterniyonlar olarak bi
linen ve a¸sa˘ gıda tanımlayaca˘ gımız dört boyutlu sayı sistemini tanımlamı¸stır. Hüseyin Tevfik
Pa¸sa’da kompleks sayılar cebirini içine alan üç boyutlu sayı sistemleri tanımlamaya çalı¸san
matematikçilerdendir. Lineer Algebra adlı eserinde, üç boyutlu fakat birle¸smeli olmayan bir
cebir tanımlamı¸s ve geometriye uygulamalarını vermi¸stir. Kuaterniyonların üç boyutlu uzayda
dönmelere kar¸sılık gelmesi, vektörel çalı¸smalarda kullanılması, ve kuaterniyonlar yardımıyla
küresel geometrinin ve bazı fiziksel denklemlerin yorumlanıp ifade edilmesi bu dörtlü sayıların
son yıllarda kullanım alanını oldukça geni¸sletmi¸stir. Kuaterniyonlar özellikle geometri, fizik,
kinematik, mekanik, vektörel analiz, bilgisayar, animasyon ve robot teknolojisi gibi bir çok
alanda kullanılmaya ba¸slanan önemli bir sayı sistemidir.
2
2
2
William R.Hamilton i =j =k =ijk = −1
Hamilton 1843 yılında Dublin’deki Kraliyet Kanalı boyunca yürürken, yıllardır üzerinde çalı¸stı˘ gı kuaterniyon
adı verilen sayı dörtlülerinin temel ba˘ gıntılarını ke¸sfetti ve bu ke¸sfini köprüde bulunan bir ta¸sın üzerine yazdı.
Örnek 2.1
2
2
Üç Boyutlu + i + j ∈ R ve i = j = −1 ile tanımlı bir sayı sistemi olamayaca˘ gını kolayca
görebiliriz. ij = + i + j olacak ¸sekilde ∈ R sayılarının oldu˘ gunu kabul edelim. Bu e¸sitli˘ gi
soldan i ile çarparsak,
−j = i − + ij
elde edilir. ij yerine, + i + j yazılırsa,
−j = i − + ( + i + j)
e¸sitli˘ ginden,
¡ 2 ¢
( − )+( + ) i + +1 j =0
2
elde edilir. Buradan, − =0 + =0 ve +1 = 0 olması gerekir ki, bu e¸sitliklerden
= −1 çeli¸skisi elde edilir.
2
