Page 18 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Düzlemsel Öklidyen Dönmeler ve Kompleks Sayılar 17

Örnek 1.4
Bir ( ) noktasını 135 saat yönünün tersine döndürmek için, z =  + i kompleks sayısını hangi
◦
kompleks sayısı ile çarpmamız gerekir.
Çözüm :
√ √
2 2
i135
◦
◦
◦
w =  = cos 135 + i sin 135 = − + i
2 2
kompleks sayısı ile çarpmak yeterlidir.
Örnek 1.5
Düzlemde, bir noktayı 60 saat yönüne döndüren dönme matrisine kar¸sılık gelen, kompleks sayıyı
◦
bulunuz.

Çözüm : Saat yönüne 60 döndüren matris,
◦
∙ ¸
cos 60 ◦ sin 60 ◦
R (−60 ◦ ) =
− sin 60 ◦ cos 60 ◦
oldu˘ gundan,
√
∙ ¸
◦
◦
cos (−60 ) sin (−60 ) i(−60) ◦ 1 3
i(−60)
◦
R( )= → z =  = − i
sin (−60 ) cos (−60 ) 2 2
◦
◦
elde edilir.
Karma¸sık Sayılarla Belirli Bir Nokta Etrafında Dönme
1.4 Teorem Kompleks düzlemde verilen z ve w kompleks sayıları için, w sayısını, z
sayısının belirtti˘ gi koordinat etrafında  açısı kadar döndürülmesini
i
R z (w)= z +  (w − z)
dönü¸sümüyle ifade ederiz.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
w sayısını, z etrafında  açısı kadar döndürdük­ iθ
ten sonra elde edilen noktayı u kompleks sayısı ile y u=z+e (w­z) w
gösterelim. Buna göre, u A

i
 (w − z)= (u − z) θ
yazılabilir. Buradan,
z
i
R z (w)= u = z +  (w − z)
x
bulunur.