Page 30 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 29

Örnek 2.5
qq ve qq çarpımlarını bulalım.
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −2 3 −2 1 18
⎢ 2 1 −2 −3 ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
 q (q)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ 
⎣ −3 2 1 −2 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 0 ⎦
2 3 2 1 −2 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −2 3 −2 1 18
⎢ 2 1 2 3 ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎢ 0 ⎥
 q (q)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ −3 −2 1 2 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 0 ⎦
2 −3 −2 1 −2 0
oldu˘ gundan, qq = qq elde edilir. Bu bir tesadüf de˘ gildir, a¸sa˘ gıdaki özelliklerde,
2
2
2
qq = qq =  +  +  +  2
1 2 3 4
oldu˘ gu gösterilecektir.

2.8 Alıştırma p = i + j + k ve q =2 + i + j + k kuaterniyonları için, pq çarpımını hesaplayınız.
Yanıt : pq =3 + 2i +2j + 2k

Kuaterniyonun E¸sleni˘ ginin Özellikleri

2.4 Teorem A¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.
1. (q)= q
2. p + q = p + q
3. pq = q p
2
4. qq = qq =  + hv   v  i 
q
2
2
5. q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için, qq =  +  +  +  olur.
2
2
1 2 3 4
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
1. ve 2. açıktır. 3., 4. ve 5.’nin do˘ grulu˘ gunu görelim.
pq =  p  q − hv p  v q i +  p v q +  q v p + v p × v q
e¸sitli˘ gine göre,
 pq =  p  q − hv   v  i ∈ R

v q =  p v q +  q v p + v p × v q
oldu˘ gundan,

pq =  p  q − hv   v  i −  p   −  q   −   ×  
=  q  p − h−v   −v  i +  q (−v  )+  p (−v  )+(−v  ) × (−v  )
=( q − v  )( p − v  )
= q p
oldu˘ gu görülür.