Page 36 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 35

Reel Kuaterniyonların Kutupsal Gösterimi

Kompleks sayılarda iyi bilinen De Moivre formülü, kuaterniyonlara da genelle¸stirilebilir. Ama
bunu yapabilmek için, öncelikle, bir kuaterniyonu kompleks sayılarda oldu˘ gu gibi kutupsal
formda yazaca˘ gız. Bir kuaterniyon kutupsal formda yazılınca, vektörel kısmı imajiner,skaler
3
kısmı reel olan bir kompleks sayı gibi davranır. Yani, bir birim kuaterniyon : n ∈ R ve
n = −1 olmak üzere,
2
q =cos  + n sin 
formunda yazılabilir. A¸sa˘ gıdaki teoremde, herhangi bir kuaterniyonu kutupsal formda nasıl
yazabilece˘ gimiz verilmi¸stir.

Kuaterniyonun Kutupsal Formu

2.11 Teorem Her q ∈ H kuaterniyonu,

v   q kv  k
n =  cos  = ve sin  =
kv  k kqk kqk
olmak üzere,

q = kqk (cos  + n sin )
formunda yazılabilir. Üstelik, n = −1 e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
2

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
q =  q + v  olmak üzere,
µ ¶
 q v 
q = kqk +
kqk kqk
µ ¶
 q kv  k v 
= kqk +
kqk kqk kv  k
¸ seklinde yazalım. v  = n ∈ R birim vektörü, bir has kuaterniyondur ve
3
kv  k
v 2 − hv   v  i + v  × v  − hv   v  i

2
n = 2 = = = −1
kv  k hv   v  i hv   v  i
olur. Di˘ ger yandan,
µ ¶ 2 µ ¶ 2 2 2 2
 q kv  k  + kv  k kqk
q
+ = = =1
kqk kqk kqk 2 kqk 2
oldu˘ gundan, cos  +sin  =1 özde¸sli˘ gi de, göz önüne alınırsa,
2
2
 q kv  k
cos  = ve sin  =
kqk kqk
olacak ¸sekilde bir  ∈ [0 2) açısından söz edilebilir ve her q ∈ H,
q = kqk (cos  + n sin )
biçiminde ifade edilebilir. Bu yazılı¸sa, q kuaterniyonunun kutupsal formda yazılı¸sı denir.