Page 40 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 39

 ¡
2 2
2
S(q q )= ¡ ¢  2+2 + P 2+2 ¢  2−2 (−) +1
0 2+2
=0
¡ 2+2 ¢ +1 ¡ 2+2 ¢ 
P
=  2+2 +  2−2+2 (−)
0 2
=1
+1 ¡ 2+2 ¢ 2+2−2  ¡ 2+2 ¢
P
= 2  (−) =S q
=0
elde edilir. Benzer ¸sekilde,  =2 için,
³ ´ P ¢ ³ ´
2 2
 ¡

V q q = 2  −2−1 (−) =V q 2+2
2+1
=0
oldu˘ gu görülebilir.  =2 +1 için Teoremin kanıtı okuyucuya bırakılmı¸stır.
Örnek 2.9
q =2 + 3i + j + k kuaternionunun 5’inci kuvvetini hesaplayınız.
Çözüm :  =2 ve  = h(3 1 1)  (3 1 1)i =11 oldu˘ gundan,
∙ µ ¶ ¸ ∙ µ ¶ ¸
5 5−2  2 P 5 5−2−1 
5
2 P
q =  (−) +  (−) v 
=0 2 =0 2 +1
∙ µ ¶ ¸ ∙ µ ¶ ¸
2 P 5 5−2  2 P 5 5−2−1 
= 2 (−11) + 2 (−11) v 
=0 2 =0 2 +1
µ µ ¶ µ ¶ ¶
5 3 1 5 1 2
5
= 2 + 2 (−11) + 2 (−11)
2 4
µµ ¶ µ ¶ µ ¶ ¶
5 4 0 5 2 1 5 2
+ 2 (−11) + 2 (−11) + (−11) v 
1 3 5
= 362 − 239 (3i + j + k)

2.15 Alıştırma p = i + j + k ve q =1 + i + k kuaterniyonlarının 10’uncu kuvvetlerinin reel
kısımlarını hesaplayınız.
 10   10 
Yanıt : s p = −243 s q =3363
Yukarıdaki formülü kullanmadan, kompleks sayılarda oldu˘ gu gibi, bir kuaterniyon kutupsal
formda yazılıp herhangi bir tamsayı kuvveti çok daha kolay ¸sekilde hesaplanabilir. Öncelikle,
reel kuateniyonlar için de Moivre formülünü kanıtlayalım.