Page 44 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 43

Not 2.13 Dolayısıyla, sonsuz ¸sekilde n seçilece˘ginden, sonsuz çoklukta p kuaterniyonu için
+
bu e¸sitlik do˘gru olacaktır.  =2 için, q ∈ R olması durumunda, kuaterniyon kök sadece 2
p
tanedir ki, bunlar da ± kqk reel sayılardır. Bu durumda, q ∈ R ise reel kök yoktur.
−

Örnek 2.12
q =4 olmak üzere, x 2 =4 olacak ¸sekilde sadece 2 tane x kuaterniyonu (reel sayısı) oldu˘ gunu
gösterelim.
2
x =4=4 (cos 0 + n sin 0)
oldu˘ gundan,
µ ¶
0+2 0+ 2
x =2 cos + n sin
2 2
=2 (cos  + n sin )
=2 cos 
bulunur ki, buna göre q =4 kuaterniyonunun kare kökü sadece x 1 =2 ve x 2 = −2 olur.

Örnek 2.13
q = −8 olmak üzere, x = −8 olacak ¸sekilde sonsuz çoklukta kuaterniyon vardır. Gerçekten de,
3
3
x = −8= −8(cos0 + n sin 0)
oldu˘ gundan,  =0 1 2 için, knk =1 olacak ¸sekilde seçilen tüm
µ ¶
2 2
x = −2 cos + n sin
3 3
kuaterniyonları bir kökdür.
= −2(cos0 + n sin 0) = 2
x 1
µ ¶
2 2 √
= −2 cos + n sin 3v
x 2 =1 −
3 3
µ ¶
4 4 √
= −2 cos + n sin =1 + 3v
x 3
3 3
köklerdir. Burada, n vektörü normu 1 olan herhangi bir vektör seçilebilir.
n ∈ {(1 0 0)  (0 1 0)  (0 0 1)  (13 23 23)  }
alınan her x 2 ve x 3 kuaterniyonu x = −8 e¸sitli˘ gini sa˘ glar.
3
√
√ √ √ 3
1 − 3i 1 − 3j 1+ 3k 1+ (i +2j +2k)  
3
kuaterniyonlarının herbiri bir köktür.

2.19 Alıştırma p =9 denkleminin köklerini bulunuz.
2
Yanıt : p = − 3 ve p =3

2.20 Alıştırma p =27 denkleminin kaç kökü vardır? Bu köklerden üç tanesini bulunuz.
3
1 √ 1 1 √ 1
Yanıt : Sonsuz kökü vardır. p 1 =3 p 2 = 3i −  p 3 = 3j − 
2 2 2 2