Page 47 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

46 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
2.14 F Bir Kuaterniyonun Do˘gal Logaritması F
§ ¦
q ∈ H kuaterniyonunun kutupsal formu q = kqk (cos  + n sin ) olsun. q kuaterniyonunun
logaritması
ln q =ln kqk + n
¸ seklinde tanımlanır. Bu tanıma göre, q birim ise, ln kqk =ln 1 =0 olaca˘ gından, ln q = n
olur. Yine, q =1 + 0v  =cos 0 + n sin 0 birim kuaterniyonu için,
ln (1 + 0v  )=ln 1 + 0n =0
olacaktır. q birim kuaterniyonu için, log q kuaterniyonu birim olmak zorunda de˘ gildir.

Örnek 2.16
1 i j k
q = − + + birim kuaterniyonunun do˘ gal logaritmasını bulunuz.
2 2 2 2
Çözüm :  birimdir. O halde, ln q = n olacaktır. q kuaterniyonu için,
−i + j + k
◦
q = cos 60 + n sin 60 ; n = √
◦
3
oldu˘ gundan,
−i + j + k
ln q = n = √
3 3
elde edilir. Bu kuaterniyonun birim olmadı˘ gı açıktır.

2.23 Alıştırma q = i + j + k kuaterniyonunun do˘ gal logaritmasını hesaplayınız.
√ 
Yanıt : ln q =ln kqk + n =ln 3+ √ (i + j + k) 
2 3

2.24 Alıştırma p = k kuaterniyonunun do˘ gal logaritmasını hesaplayınız.

Yanıt : ln p = n = k.
2
¨ ¥
2.15 F Bir Kuaterniyonun Reel Kuvveti F
§ ¦
q bir birim kuaterniyon ve  ∈ R olmak üzere,


q =   ln q
¸ seklinde tanımlanır. Buna göre,  =arg q için,


 n

q =   ln q =  (lnkqk+n) =   lnkqk n = kqk  = kqk (cos  + n sin )
olacaktır.
Örnek 2.17
√ √
p =1 + i + j + k için p 2 de˘ gerini hesaplayalım. kpk = 4= 2 ve
kv  k √ 1
 =arctan =arctan 3= 
 q 3
√ √ ³   ´
oldu˘ gundan, p 2 =2 2 cos  + n sin  elde edilir.
3 3