Page 49 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

48 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
˙ Iki Kuaterniyonun Iç Çarpımı

2.17 Teorem p q ∈ H kuaterniyonları için,
pq + qp
=  p  q + hv   v  i = hp qi
2
e¸sitli˘ gi vardır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
p =  p + v  ve q =  q + v  olmak üzere,
pq =  p  q + hv   v  i −  p v  +  q v  − v  × v  

qp =  q  p + hv   v  i −  q v  +  p v  − v  × v 
oldu˘ gundan,

pq + qp =2   q +2 hv   v  i = hp qi
elde edilir. Buna göre, p =  1 + i 1 + j 1 + k 1 ve q =  2 + i 2 + j 2 + k 2 için,

hp qi =  1  2 +  1  2 +  1  2 +  1  2
olacaktır. Kısaca, iki kuaterniyonun iç çarpımı, bu iki kuaterniyonun E uzayının bir elemanı
4
olarak kabul edilip, Öklid iç çarpımının hesaplanmasından ba¸ska bir¸sey de˘ gildir.

Not 2.17 p q ∈ H kuaterniyonlarınıniççarpımı :
 (p q)=Re (pq)= Re (qp)
biçiminde de tanımlanabilir. Buna göre, p q ∈ R = H kuaterniyonları arasındaki açının
4 ∼
kosinüsü de
 (p q) Re (pq) pq + qp
cos  = = = (2.3)
kpkkqk kpkkqk 2 kpkkqk
¸ seklinde tanımlanır.

˙
Iki Kuaterniyonun Vektörel Çarpımı

Kuaterniyonlar kümesinde, p ve q kuaterniyonlarının vektörel çarpımı da :
pq − qp
p × q =
2
¸ seklinde tanımlanır. Buna göre, yukarıda verilen pq ve qp e¸sitliklerinin farkından,

p × q = − p v  +  q v  − v  × v 
elde edilir. Böylece, p =  1 +  1 i +  1 j +  1 k ve q =  2 +  2 i +  2 j +  2 k ise,
p × q =( 2  1 −  1  2 +  2  1 −  1  2 ) i +( 2  1 −  1  2 +  1  2 −  2  1 ) j
+( 2  1 −  1  2 −  1  2 +  2  1 ) k