Page 50 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 49

¸ seklinde tanımlanır. Determinantla,
µ¯ ¯ ¯ ¯¶ µ¯ ¯ ¯ ¯¶
¯  1  1 ¯ ¯  1  1 ¯ ¯  1  1 ¯ ¯  1  1 ¯
p × q = ¯ ¯ + ¯ ¯ i + ¯ ¯ + ¯ ¯ j
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
 2  2  2  2  2  2  2  2
µ¯ ¯ ¯ ¯¶
¯  1  1 ¯ ¯  1  1 ¯
+ ¯ ¯ + ¯ ¯ k
¯  2  2 ¯ ¯  2  2 ¯
¸ seklinde de yazabiliriz. Ayrıca,
kp × qk
sin  =
kpkkqk
biçiminde tanımlanır. Yukarıdaki, (2.3) ile birlikte,
2
2
cos  +sin  =1
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gı görülebilir.

Kuaterniyonlarda Vektörel Çarpımın Özellikleri

2.18 Teorem p q ∈ H kuaterniyonları için, a¸sa˘ gıdaki özelikler sa˘ glanır.
1. p × q = −q × p
2. p × p =0
3. pq = hp qi + p × q
4. pq = hp qi + p × q

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
˙ Ilk iki özellik, p × q = − p v  +  q v  − v  × v  tanımından açıktır.
pq + qp pq − qp
hp qi = ve p × q =
2 2
e¸sitliklerinden,
pq = hp qi + p × q
elde edilir. q yerine q yazılırsa, pq = hp qi + p × q bulunur.

2.25 Alıştırma p =1 + j + k ve q =2 + 2i +3j + k kuaterniyonları için p × q çarpımını bulunuz.
Yanıt : −1(2i +3j + k)+ 2 (j + k) − (−2i +2j − 2k)= 3k − 3j