Page 55 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

54 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

çarpımına e¸sit oldu˘ gu ¸seklinde ifade etmek mümkündür. Yani,

 ( 1 )+  ( 2 )+ ··· +  (  )=  (   −1 ···  2  1 )
e¸sitli˘ gi vardır. Bu notasyonlar kullanarak küresel üçgenler için sinüs ve kosinüs teoremleri
kanıtlanabilir (Brand 1947, Calvet 2001).

Küresel Sinüs Teoremi ve Kuaterniyonik Kanıtı

3.2 Teorem Birim küre üzerinde kenar uzunlukları   ,kö¸se noktaları    olan
bir  küresel üçgeninin kö¸selerdeki yayların hız vektörleri arasındaki açıların ölçüleri
  ve  olsun. Bu durumda,
sin  sin  sin 
= =
sin  sin  sin 
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Bu e¸sitli˘ ge, küresel sinüs teoremi denir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦

Birim küre üzerinde kenar uzunlukları   ,kö¸se noktaları    ve bu kö¸selerdeki yay­
ların hız vektörleri arasındaki açıların ölçüleri   ve  olsun. Buna göre,
−→ −−→ −−→
 = u  = v ve  = w
olmak üzere,  küresel üçgeninde,

 h wv −1 =cos  + N 3 sin 
g
 h uw −1 =cos  + N 2 sin 
g
 h vu −1 =cos  + N 1 sin 
g
olarak ifade edilebilir. (3.1) e¸sitli˘ ginde oldu˘ gu gibi,
cos  = hN 1  N 2 i  cos  = hN 1  N 3 i ve cos  = hN 3  N 2 i
yazılabilir. Ayrıca,  +  =  e¸sitli˘ gi ise
g
g
g
¡ −1 ¢¡ −1 ¢ −1
vu uw = vw