Page 51 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Küresel Geometri

F Bir Kuaterniyonun geometrik yorumu ve küresel geometri
Her bir birim kuaterniyon birim küre üzerindeki bir büyük çember yayına kar¸sılık gelmektedir.
Buradaki büyük çember, birim kürenin merkezinden geçen bir düzlemle kürenin arakesitinin
belirtti˘ gi çemberdir.  ile, uçları  ve  noktaları olan ve ’dan ’ye do˘ gru giden büyük
g
çember yayı gösterilecektir.

Her Kuaterniyon Küre Üzerindeki Bir Büyük Çember Yayına kar¸sılık Gelir

3.1 Teorem Her q =cos  + n sin  birim kuaterniyonu, birim küre üzerindeki bir
büyük çember yayına kar¸sılık gelir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
u ve v n birim vektörüne dik ve aralarındaki açı  olan birim
vektörler olmak üzere
q =(cos  + n sin )
= kukkvk cos  + n kukkvk sin 
= hu vi +(u × v)
= − h−u vi − (−u × v)
= − h−u vi +(v × −u)
= v (−u)
= vu −1
yazılabilir. Bu ifade geometrik olarak, her birim kuaterni­
yonun, aralarındaki açı  olan ve n birim vektörüne dik olan
−→ −−→
 = u ve  = v
birim vektörleriyle olu¸sturulan,  merkezli birim kürenin bir büyük  çember yayına
kar¸sılık geldi˘ gi ¸seklinde yorumlanabilir. Ayrıca,  çember yayına kar¸sılık gelen kuater­
niyonu da,

q =  −1 = h i +  × 
¸ seklinde de yazabiliriz.

Not :
1. q kuaterniyonu,  yayına kar¸sılık gelirken, q −1 ise  yayına kar¸sılık gelir.
g
g
2. q kuaterniyonu,  yayına kar¸sılık gelirken, −q da  yayına kar¸sılık gelir.
g
g
3. q =1 skaler kuaterniyonu birim küre üzerinde bir noktaya kar¸sılık gelir.