Page 54 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Küresel Geometri 53

N 1

C N 2

t AC
D 2 t AB
A B

D 1

Kuaterniyonlar ve Küresel Üçgenler
Kuaterniyonlar yardımıyla, birim küre üzerindeki küresel üçgenler için sinüs ve kosinüs teo­
−→
−−→
remleri kanıtlanabilir.  = u ve  = v birim vektörleriyle olu¸sturulan,  büyük çember
yayını,
p = vu −1 = hu vi + u × v

¸ seklinde bir birim kuaterniyonla gösterebiliriz. ¸Simdi,  küresel üçgenini göz önüne
−−→
−→
−−→
alalım. u =  v =  ve w =  oldu˘ gundan, ,  ve  yayları sırasıyla
g
g g
vu −1 , wv −1 ve wu −1 kuaterniyonlarıyla ifade edilir. p = vu −1 , q = wv −1 denilirse,
wu −1 = wv −1 vu −1 = qp
olur.

C

w q=wv ­1
O v
B
u p=vu ­1
A

Bu e¸sitli˘ gi yayların toplamı olarak, vektörlerin toplamındaki gibi
 +  = 
g
g
g
¸ seklinde veya kuaterniyonlar cinsinden,
 (p)+  (q)=  (qp)
biçiminde ifade edebiliriz. Daha genel olarak, herhangi bir sayıdaki küresel büyük çember
yaylarının vektörel toplamının, bu yayların kuaterniyon gösteriminin, ters sırada kuaterniyon