Page 59 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

58 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 4.2
Ortogonal bir matrisin determinantının ±1 oldu˘ gunu kanıtlayınız.

Çözüm : Öklid uzayı için kanıtımızı yapalım. Herhangi bir iç çarpım uzayında da do˘ grudur. Bunu daha
sonra genelle¸stirilmi¸s iç çarpım uzayları konusunda inceleyece˘ giz. R ortogonal ise,
¢
¡


R R =  ⇒ det R R =det 

⇒ det R det R =1
2
⇒ (det R) =1
⇒ det R = ±1
olur.

4.1 Alıştırma  bir ortogonal dönü¸süm ise, k (u)k = kuk oldu˘ gunu kanıtlayınız.

4.2 Alıştırma Ortogonal matrisin tersi de ortogonaldir, kanıtlayınız.

4.3 Alıştırma Ortogonal matrislerin çarpımı ortogonal oldu˘ gunu kanıtlayınız.

¨ ¥
4.2 F DönmeveYansıma Matrisleri F
§ ¦
Determinantı 1 olan ortogonal matrislere dönme matrisi; −1 olan ortogonal matrislere de
yansıma matrisi denir. 3 boyutlu Öklid uzayında dönme matrislerinin kümesini,

SO (3) = {R ∈ M 3×3 (R): R R =  ve det R =1}
ile gösteririz. Bu küme, matrisle çarpma i¸slemine göre bir gruptur. Dönme matrisleri, de­
terminantı 1 olan, açıları, uzunlukları koruyan dönü¸sümlerdir. R de her dönme matrisi, bir
3
u ekseni etrafında  açısı kadar dönmeyi ifade eder.  açısına dönme açısı, u eksenine de
dönme ekseni denir.

Örnek 4.3
E uzayında,
3
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
cos  − sin  0 cos  0 − sin  1 0 0
= ⎣ sin  cos  0 ⎦ = ⎣ 0 1 0 ⎦ = ⎣ 0cos  − sin  ⎦
R e 3  R e 2  R e 1
0 0 1 sin  0 cos  0 sin  cos 
matrisleri sırasıyla,  ekseni,  ekseni ve  ekseni etrafında  açısı kadar dönmeyi ifade eden mat­
rislerdir. Di˘ ger yandan,
⎡ ⎤
−7 4 4
1
R u = ⎣ 4 −1 8 ⎦
9
4 8 −1
matrisi de bir dönme matrisidir. Fakat dönme ekseni u ve dönme açısı , yukarıdakiler gibi hemen
belirlenemez. Herhangi bir dönme matrisinde dönme ekseninin ve açısının nasıl bulunaca˘ gını daha
sonra görece˘ giz.