Page 62 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 62
Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 61
¸ seklinde oldu˘ gundan,
()= − ( 1 + 2 + ··· + ) −1 + ··· +(−1) 1 2 ···
ile kar¸sıla¸stırılırsa, iz = 11 + 22 + ··· + = 1 + 2 + ·· · + elde edilir.
4.5 Alıştırma 4 × 4 bir reel matrisin özde˘ gerlerinden ikisi 2+3i ve 3 − i kompleks sayıları ise, bu
matrisin determinantını ve izini hesaplayınız.
Yanıt : det = 130 iz = 10
4.6 Alıştırma Karakteristik polinomu ()= − 2 +3 − 1 olan matrisin izini ve determi
4
2
5
nantını hesaplayınız.
Yanıt : det = −1 iz = 2
Reel Katsayılı Bir Polinom Denklemin Kompleks Kökleri E¸sleniktir
4.3 Teorem Reel katsayılı bir polinom denklemin 6=0 olmak üzere, + i kökü ise
− i’de köküdür.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
2
()= 0 olsun, () polinomunu, ( − ) + ile bölelim. Buna göre, kalanın en fazla
2
birinci dereceden olaca˘ gını göz önünde bulundurarak,
³ ´
2
()= ( − ) + 2 ()+ +
yazabiliriz. ()’in ve bölen polinomun tüm katsayıları reel oldu˘ gundan, () ve +
polinomları da reel katsayılıdır. = + i bir kök ise,
( + i)+ =0
e¸sitli˘ ginden, =0 ve + =0 elde edilir. 6=0 oldu˘ gundan, =0 ve =0 elde
edilir. O halde,
³ ´
2
()= ( − ) + 2 ()
olur. ( − i)=0 oldu˘ gundan, − i’nin de bir kök oldu˘ gu görülür.
Bu iki teoremin sonucu olarak, boyutlu bir reel V vektör uzayında, bir dönme matrisinin
özde˘ gerleri ile ilgili a¸sa˘ gıdaki sonuçları yazabiliriz.
Sonuç 4.1 R de bir dönme matrisinin özde˘gerlerinin çarpımı 1 olur. Gerçekten de, R
dönme matrisi ise, det R =1 olacaktır. O halde, 1 2 ·· · =1 elde edilir.
Sonuç 4.2 R uzayında, bir R dönme matrisinin karakteristik polinomu
()= − iz (R) −1 + ··· +(−1)
formundadır.
