Page 65 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 65
64 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
Örnek 4.4 ∙ √ ¸
2
R uzayında R = 1 1 3 matrisinin belirtti˘ gi dönme açısını bulunuz.
√
2 − 3 1
iz (R) 1
Çözüm : cos = ⇒ cos = ⇒ =60 olur.
◦
2 2
Sonuç 4.4 Üç boyutlu Öklid uzayında, bir R dönme matrisinin belirtti˘gi dönme açısı :
iz (R) − 1
cos =
2
e¸sitli˘gi ile belirlidir. A¸sa˘gıda, bir teorem olarak da bu sonucu kanıtıyla verece˘giz.
Sonuç 4.5 R uzayında bir R dönme matrisinin karakteristik polinomu
2
2
()= − iz (R)+ 1
formundadır.
Sonuç 4.6 R uzayında bir dönme matrisinin karakteristik polinomu
3
3
2
()= − iz (R) +iz (R) − 1
formundadır.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
∈ R olmak üzere,
3
2
()= det ( − )= − iz () + − 1
oldu˘ gunu yukarıdaki teoremden söyleyebiliriz. Di˘ ger yandan 1 2 3 =1 oldu˘ gundan, özde˘ ger
lerden biri mutlaka 1 olacaktır. Yani, (1) = 0 olmalıdır. Buradan, =iz () elde edilir.
Böylece, karakteristik polinomu
¡
3
2
2
()= − iz (R) +iz (R) − 1=( − 1) +((1 − iz ()) +1) ¢
3
¸ seklinde yazılabilir. Ayrıca, R uzayında bir dönme matrisinin özde˘ gerleri :
1 =1
2 = −i =cos − i sin
i
3 = =cos + i sin
olarak belirlidir.
Üç Boyutlu Uzayda Dönme Açısı
4.7 Teorem R uzayında bir dönme matrisinin dönme açısı için
3
1
cos = (iz − 1)
2
e¸sitli˘ gi vardır.
